В п. 2.16 мы видели, что для осциллятора с медленно и апериодически изменяющимся параметром можно построить разложение, которое дает адиабатический инвариант движения. Параметром разложения являлось отношение периода быстрых колебаний осциллятора к характерному времени медленного изменения параметра. Такую же процедуру можно использовать и в многомерных системах для построения рядов, не содержащих явно малых знаменателей. Этот метод, впервые предложенный Пуанкаре [337], был затем более строго обоснован Биркгофом [29].

Систематическая техника таких разложений, разработанная Боголюбовым и сотр. $[242,33,32]$, получила название метода усреднения ${ }^{1}$ ). Несколько иная форма этого метода, более подходящая для канонического представления, была предложена Крускалом [239] (см. п. 2.3г). Крускал показал, что адиабатические инварианты можно построить в любом порядке по параметру разложения и что получающиеся при этом ряды оказываются асимптотическими. В работах Боголюбова и Крускала рассматривается широкий класс систем дифференциальных уравнений, не обязательно гамильтоновых. Полезные канонические формы методов вычислений были введены Мак-Намарой и Уайтменом [292] и Штерном $[391,392]$. Однако в более высоких порядках разложения на смену им пришла техника преобразований Ли [290] (см. § 2.5). Связь между различными методами рассматривается в обзорах Мак-Намары и Уайтмена [292] и Джакальи [153].
Aсимптотические ряды. Биркгоф [29] впервые показал, что осциллятор с медленно изменяющейся частотой
\[
\ddot{x}+\omega^{2}(\varepsilon t) x=0
\]
1) В оригинале – multiple scale method of averaging [метод усреднения с несколькими масштабами (времени)] – термин, который в отечественной литературе не употребляется. Заметим, что понятие усреднения (как приближенного метода) уже подразумевает наличие в задаче по крайней мере двух различных масштабов времени. По поводу специальных методов теории возмущений, в которых эти масштабы вводятся явно, см., например, работу [313].- Прим. ред.

допускает решение в виде асимптотического ряда. Это значит, что последовательные приближения
\[
X_{n}(t, \varepsilon)=\sum_{k=0}^{n} \varepsilon^{k} x_{k}(t)
\]

точного решения $x(t, \varepsilon)$ можно построить таким образом, что для любых фиксированных $n$ и $t$
\[
\begin{array}{l}
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \varepsilon^{-n}[x(t, \varepsilon)- \\
\left.-X_{n}(t, \varepsilon)\right]=0 .
\end{array}
\]

Напомним некоторые важнье свойства асимптотических рядов. Во-первых, две различные функции могут соответствовать одному и тому же асимптотическому ряду. Поэтому построение асимптотического ряда еще не определяет однозначно представляемую им функцию. Предположим, что две функции $x_{1}$ и $x_{2}$ отличаются на экспоненциально малую величину при $\varepsilon \rightarrow 0$ :
\[
\Delta x=a(t) \exp [-b(t) / \varepsilon] .
\]

Так как
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \varepsilon^{-n} \exp (-b / \varepsilon)=0,
\]

то асимптотическое разложение функции $\Delta x$ есть $X_{n}=0$ для всех $n$ (см. рис. 2.6, a). Следовательно, функции $x_{1}$ и $x_{2}$ представляются одним и тем же асимптотическим рядом. Фактически прямые вы-
Рис. 2.6. Свойства асимптотического ряда. $a-$ функция $\Delta x=\exp (-1 / \varepsilon)$, для которои асимптотическое разложение есть тождественный нуль 6 – расходимость асимптотического ряда при фнксированном \&. Последовательные аппроксимации $X_{n}$ вначале приближаются к нстинному лучшая» аппроксимация отвечает номеру $n=$ $=n_{\text {макс }}$.

числения обнаружили такие экспоненциально малые изменения адиабатических инвариантов в колебательных системах с медленно
изменяющимися параметрами ${ }^{1}$ ) (см., например, [81, 191, 200]). Для многомерных систем ${ }^{2}$ ) эти экспоненциально малые изменения инвариантов являются следствием резонансов, вызывающих топологическую перестройку фазового пространства, а при достаточно сильном возмущении и разрушение инвариантов. Таким образом, «адиабатический» инвариант, представляемый асимптотическим рядом, является в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$ приближением порядка $\exp (-b / \varepsilon)$ точного решения, трагктория которого может лежать: a) на гладкой инвариантной поверхности, б) на инвариантной поверхности резонанса, в) в тонком стохастическом слое.

Второе свойство асимптотических рядов заключается в их формальной расходимости: для любых фиксированных $\varepsilon$ и $t$ имеем ${ }^{3}$ )
\[
\left|x(t, \varepsilon)-X_{n}(t, \varepsilon)\right| \rightarrow \infty, \quad n \rightarrow \infty .
\]

Общее поведение $X_{n}$ с ростом $n$ при фиксированном $\varepsilon$ иллюстрируется на рис. $2.6,6$. Вначале увеличение $n$ улучшает аппроксимацию, но для $n$, больших некоторого $n_{\text {макс }}(\varepsilon)$, последующие приближения становятся все хуже и хуже и расходятся при $\vec{n} \rightarrow \infty$. Поэтому следует вычислять лишь $n_{\text {макс }}$ первых членов разложения, сумма которых будет отличаться от точного решения, грубо говоря, на величину последнего (с номером $n_{\text {макс }}$ ) члена.

Наконец, отметим, что асимптотическое разложение для адиабатических инвариантов несправедливо на интервалах времени, значительно превышающих время кмедленных» изменений в системе; иными словами, адиабатический инвариант не может даже приближенно сохраняться при $t \rightarrow \infty$. Такое несохранение адиабатических инвариантов, известное как диффузия Арнольда, возникает в системах с тремя и более степенями свободы и является основным содержанием гл. 6.
Медленное возмущение. Рассмотрим отличие в порядках членов разложения для случая, когда возмущение мало и когда оно медленное, или «адиабатическое». Для малого возмущения гамильтониан имеет вид
\[
H=H_{0}(\boldsymbol{J}, t)+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}, t)+\ldots .
\]

где $H_{0}$ описывает полностью интегрируемое движение, а $\varepsilon$ – малый параметр, характеризующий величину неинтегрируемой части $H$. Для малого возмущения производные от $H_{0}$ и $H_{1}$ полагаются величинами того же порядка, что и сами $H_{0}$ и $H_{1}$, т. е.
\[
\left|\frac{\partial H_{0}}{\partial t}\right| \sim\left|H_{0}\right|, \quad\left|\frac{\partial H_{1}}{\partial J}\right| \sim\left|H_{1}\right|, \ldots
\]
1) Для экспоненциальной малости существенна аналитическая зависимость параметров от времени (см., например, [11, 244, 464]).- Прим. ред.
2) А также в случае явной периодической зависимости параметров от времени. – Прим. ред.
3) Это не всегда так, как показывает только что рассмотренный пример функции $\Delta x(t)$, определяемой формулой (2.3.3) (см. также [465], § 1.3).Прим. ред.

Для медленного возмущения производные по времени принимаются по порядку величины в $\varepsilon$ раз меньше тех членов, из которых они получены, т. е.
\[
\left|\frac{\partial H_{0}}{\partial t}\right| \sim \varepsilon\left|H_{0}\right|, \ldots
\]

Чтобы явно выделить эти порядки величин, запишем
\[
H_{0}=H_{0}(\varepsilon t),
\]

так что
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial t}=\varepsilon H_{0}^{\prime},
\]

где штрих означает дифференцирование по аргументу $\tau=\varepsilon t$.
В этом параграфе нас будут интересовать такие системы, для которых изменения во времени и движение по всем степеням свободы, кроме одной, являются медленными. С учетом этого запишем гамильтониан в виде
\[
H=H_{0}(J, \varepsilon \boldsymbol{y}, \varepsilon t)+\varepsilon H_{1}(J, \theta, \varepsilon \boldsymbol{y}, \varepsilon t)+. . .,
\]

где $J, \theta$ – переменные действие – угол для невозмущенного ( $\varepsilon \equiv 0$ ) движения по единственной «быстрой» степени свободы, а $\boldsymbol{y}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})$ – «медленные» канонические переменные (не обязательно действие-угол) по остальным степеням свободы. Так как при $\varepsilon=0$ система имеет фактически одну степень свободы, она всегда является интегрируемой и можно ввести переменные $J, \theta$. При этом малый параметр $\varepsilon$ в (2.3.6) будет «автоматически» давать правильные порядки величин при дифференцировании $H$ в рядах теории возмущений.