Покажем, что последовательность бифуркаций удвоения является тем механизмом, с помощью которого происходит переход от регулярного движения к хаотическому в широком классе двумерных обратимых отображений. Более того, оказывается, что вблизи перехода движение системы можно локально описать одномерным необратимым отображением. Эти результаты были получены на основе точной теории ренормализации [83]. Однако мы будем попрежнему использовать приближенную теорию Хеллемана [180$182]$.

житель $\gamma$ в (7.2.44) является на самом деле сложной (фрактальной) функцией частоты $\omega$, а его среднее значение (с учетом множителя $1 / \sqrt{2}$ ) равно $\left\langle\gamma^{-2}\right\rangle^{-1 / 2}=2 \alpha^{2}\left(1+\alpha^{2}\right)^{-1 / 2}$ и в точности совпадает с результатом для случайных фаз (см. примечание редактора на с. 440).- Прим. ред.

Рассмотрим последовательные бифуркации неподвижной точки ${ }^{1}$ ) периода 1 некоторого двумерного отображения $T$. После первой бифуркации эта неподвижная точка становится неустойчивой. Разложим отображение до квадратичных членов:
\[
\left(\begin{array}{l}
u_{n+1} \\
v_{n+1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\
\Lambda_{21} & \Lambda_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
u_{n} \\
v_{n}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{lll}
\Gamma_{11} & \Gamma_{12} & \Gamma_{13} \\
\Gamma_{21} & \Gamma_{22} & \Gamma_{23}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
u_{n}^{2} \\
u_{n} v_{n} \\
v_{n}^{2}
\end{array}\right),
\]

где $u, v$ – отклонение от неустойчивой неподвижной точки. Примем, что якобиан этого отображения $B=$ const $<1$, что, во всяком случае, справедливо вблизи перехода.
Отображение (7.3.1) можно привести к стандартному виду
\[
x_{n+1}+B x_{n-1}=2 C x_{n}+2 x_{n}^{2}
\]

следующим способом (см. [182 ], приложение A):
1. Переходим к переменным $u^{\prime}, v^{\prime}$, в которых матрица $\Lambda^{\prime}$ диагональна, а оба ее собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ действительны, поскольку неподвижная точка неустойчива; тогда $\Gamma$ переходит в $\Gamma^{\prime}$.
2. Условие $B=$ const дает возможность выразить все элементы матрицы $\Gamma^{\prime}$ через $\Gamma_{11}^{\prime}, \Gamma_{13}^{\prime}$ и собственные значения.
3. Переходим к новым переменным:
\[
\begin{array}{l}
s=u^{\prime} \sqrt{\Gamma_{11}^{\prime}}+v^{\prime} \sqrt{\Gamma_{13}^{\prime}}, \\
d=u^{\prime} \sqrt{\Gamma_{11}^{\prime}}-v^{\prime} \sqrt{\Gamma_{13}^{\prime}} .
\end{array}
\]
4. Изменяем масштаб по $s$, вводя
\[
x=\frac{\sqrt{\Gamma_{11}^{\prime}}\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)}{2 \lambda_{1}} s .
\]

В результате получаем (7.3.2) с параметром
\[
C=\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{2} .
\]

В некоторых случаях стандартная форма (7.3.2) находится непосредственно. Например, отображение
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=(1-\delta) u_{n}+A v_{n}+D v_{n}^{2}, \\
v_{n+1}=v_{n}+u_{n+1}
\end{array}
\]

сводится к (7.3.2) с помощью замены $x=D v / 2, C=(2-\delta+\mathrm{A}) / 2$
1) В случае периода $k$ берем отображение $T^{k}$.

и $B=1-\delta$. Отображение Хенона (7.1.14) может быть сразу записано в стандартной форме.
Квадратичная ренормализация. Исследуем, как и в п. 7.2б, поведение вблизи неподвижной точки $x_{10}=0$ при уменьшении $C$. Неподвижная точка устойчива, если
\[
|C|<\frac{1+B}{2},
\]

и неустойчива при
\[
C<-\frac{1+B}{2} .
\]

В результате бифуркации рождаюгся две устойчивые неподвижные точки $x_{2+}$ (см. рис. 7.12). Оба корня можно найти, записывая
\[
x_{2 \pm}=a \pm b
\]

и итерируя (7.3.2) дважды [ср. (7.2.21)]:
\[
\begin{array}{l}
2 a=-\frac{1+B}{2}-C, \\
4 b^{2}=\left[C+\frac{1+B}{2}\right]\left[C-\frac{3(1+B)}{2}\right] .
\end{array}
\]

Подставляя $x=x_{2-}+\Delta x$ в (7.3.2), получаем
\[
\begin{aligned}
\Delta x_{n}+B \Delta x_{n-2} & =e \Delta x_{n-1}+2\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2}, \\
\Delta x_{n+1}+B \Delta x_{n-1} & =d \Delta x_{n}+2\left(\Delta x_{n}\right)^{2}, \\
\Delta x_{n+2}+B \Delta x_{n} & =e \Delta x_{n+1}+2\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2},
\end{aligned}
\]

где $d$ и $e$ имеют вид [см. (7.2.22) и (7.2.23) ]:
\[
\begin{array}{l}
d=2 C+4 x_{2+}, \\
e=2 C+4 x_{2-} .
\end{array}
\]

При четных $n$ траектория находится вблизи $x_{2+}$, а при нечетных вблизи $x_{2-}$. Умножая (7.3.7a) на $B$, (7.3.7б) на $e$ и складывая затем с (7.3.7в), получаем
\[
\begin{aligned}
\Delta x_{n+2}+B^{\prime} \Delta x_{n-2}= & 2 C^{\prime} \Delta x_{n}+2 e\left(\Delta x_{n}\right)^{2}+2\left[\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+\right. \\
& \left.+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2}\right],
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
B^{\prime}=B^{2}, \\
C^{\prime}=\frac{1}{2} d e-B=-2 C^{2}+2(1+B) C+2 B^{2}+3 B+2 .
\end{array}
\]

Член в квадратных скобках в (7.3.9) пропорционален $\left(\Delta x_{n}\right)^{2}$. Действительно, вводя $r=\Delta x_{n+1} / \Delta x_{n-1}$, находим
\[
\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2}=\left(r^{2}+B\right)\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2} .
\]

Пренебрегая квадратичным членом в (7.3.7б), имеем
\[
(r+B) \Delta x_{n-1} \approx d \Delta x_{n}
\]

Подстановка (7.3.12) в правую часть (7.3.11) дает
\[
\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2} \approx \frac{d^{2}\left(r^{2}+B\right)}{(r+B)^{2}}\left(\Delta x_{n}\right)^{2}
\]

Вследствие квадратичной зависимости при бифуркации удвоения $r \approx 1$, т. е. $\left|\Delta x_{n+1}\right|$ близко к $\left|\Delta x_{n-1}\right|$. Правая часть (7.3.13) имеет экстремум при $r=1$ и поэтому слабо зависит от $r$ при $r \approx 1$. Отсюда
\[
\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2} \approx \frac{d^{2}}{1+B}\left(\Delta x_{n}\right)^{2} .
\]

Подставляя (7.3.14) в (7.3.9) и переходя к переменной
\[
x^{\prime}=\alpha \Delta x \text {, }
\]

находим
\[
x_{n+2}^{\prime}+B^{\prime} x_{n-2}^{\prime}=2 C^{\prime} x_{n}^{\prime}+2\left(x_{n}^{\prime}\right)^{2},
\]

где
\[
\alpha=e+\frac{d^{2}}{1+B} .
\]

Отображение (7.3.16) имеет тот же вид, что и исходное (7.3.2). Позтому неподвижные точки нового отображения испытывают бифуркацию при тех же значениях новых параметров $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ [см. (7.3.5) ]. Последовательность бифуркаций, которые описываются соотношениями (7.3.10), сходится при значениях $B^{\prime}=B=B_{\infty}$ и $C^{\prime}=C=C_{\infty}$. Для диссипативного отображения $|B|<1$ и из (7.3.10a) следует, что $B_{\infty}=0$. Поэтому все диссипативные отображения вблизи перехода ведут себя локально как одномерные [ср. (7.3.16) с $(7.2 .26)$ при $B^{\prime}=0$ ]. Неудивительно, что при подстановке $B=B_{\infty}=0$ в (7.3.10б) условие $C^{\prime}=C=C_{\infty}$ дает то же самое значение
\[
C_{\infty}=\frac{1-\sqrt{17}}{4} \approx-0,781,
\]

что и для одномерного случая. Бифуркационные значения $C_{k}$ сходятся к $C_{\infty}$ по тому же закону
\[
C_{k}-C_{\infty} \approx A \delta^{-k}
\]

и с тем же множителем $\delta=1+\sqrt{17} \approx 5,12$, что и в одномерном случае. Параметр подобия $\alpha \approx-2,24$, определяемый формулой (7.3.17), также совпадает с (7.2.35). Эти результаты указывают на универсальный характер поведения всех диссипативных систем вблизи перехода к хаотическому движению; они были проверены численно для многих одномерных, двумерных и многомерных отображений. Однако следует подчеркнуть, что переход к стохастичности явітяется локальным, т. е. относится только к данной неподвижной точке с ее последовательностью бифуркаций. В общем случае в диссипативной системе имеется много неподвижных точек, каждая из которых должна претерпевать свою последовательность бифуркаций, прежде чем возникает глобальный переход к хаотическому движению и странный аттрактор ${ }^{\mathbf{1}}$ ).

В противоположность этому бифуркации двумерных гамильтоновых отображений устроены более сложно. Из-за сохранения фазовой площади $B^{\prime}=B=B_{\infty}=1$ (если $B=-1$, то можно взять квадрат отображения; более подробно см. работу [182]). Поэтому бифуркации удвоения гамильтонова отображения сохраняют двумерный характер даже вблизи точки сгущения (численные данные см. в работе [36]). В результате, хотя масштабные факторы $\delta$ и $\alpha$, а также параметр $C_{\infty}$ и являются универсальными для всех двумерных гамильтоновых отображений, они имеют другие значения, чем для диссипативных отображений. Более того, для гамильтоновых отображений имеется еще один универсальный масштабный фактор $\beta$, который вместе с $\alpha$ определяет преобразование фазовой плоскости при бифуркациях. Определение $\beta$ с помощью обобщения описанного выше метода приводится в дополнении Б.