Вернемся к примеру в п. 2.2б-влиянию электростатической волны на движение заряженной частицы в магнитном поле. Рассмотрим случай резонанса между невозмущенным ларморовским вращением частицы и колебаниями волны. Қак мы видели выше, в этом случае нельзя найти интегралы движения с помощью классической теории возмущений из-за появления резонансных знаменателей. Однако резонансная теория возмущений дает возможность устранить эти знаменатели локально. Следуя работе [267], рассмотрим две задачи: 1) волна распространяется под углом к магнитному полю ( $k_{z}
eq 0$ ), что соответствует невырожденному случаю; 2) волна распространяется перпендикулярно магнитному полю $\left(k_{z}=0\right.$ ), что соответствует вырождению.
Невырожденный случай. При $k_{z}
eq 0$ условие резонанса (2.2.71) выполняется для различных значений $m$ и импульса частицы $P_{z}$. Выберем определенный резонанс $m=l$ и перейдем к резонансным переменным с помощью производящей функции (2.4.5), которая для гамильтониана (2.2.67) принимает вид

Имеем
\[
F_{2}=(\psi-l \varphi) \widetilde{P}_{\psi}+\varphi \widetilde{P}_{\varphi}
\]
\[
\begin{array}{c}
\tilde{H}=\frac{k_{z}^{2}}{2 M} \widetilde{P}_{\psi}^{2}+\Omega\left(\widetilde{P}_{\varphi}-l \widetilde{P}_{\psi}\right)-\widetilde{P}_{\psi} \omega+\varepsilon e \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \rho\right) \times \\
\times \sin [\tilde{\psi}-(m-l) \tilde{\varphi}]
\end{array}
\]

где $\rho$ – функция переменных действия. Достаточно близко от резонанса переменная $\tilde{\psi}$ изменяется медленно и можно провести усреднение по быстрой фазе $\varphi$. В результате остается единственный член с $m=l$ и усредненный гамильтониан равен
\[
\bar{H}=\frac{k_{z}^{2}}{2 M} \tilde{P}_{\psi}^{2}+\Omega\left(\widetilde{P}_{\varphi}-l \widetilde{P}_{\psi}\right)-\widetilde{P}_{\psi} \omega+\varepsilon e \Phi_{0} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right) \sin \tilde{\psi} .
\]

Если произвести замену $\tilde{\psi} \rightarrow \tilde{\psi}+\pi / 2$, так что $\sin \tilde{\psi} \rightarrow \cos \tilde{\psi}$, то $\bar{H}$ примет вид (2.4.16). Так как $\bar{H}$ не зависит от $\tilde{\varphi}$, имеем
\[
\widetilde{P}_{\varphi}=P_{\varphi}+l P_{\psi}=\widetilde{P}_{\varphi 0} .
\]

Согласно (2.4.18) и (2.4.20), неподвижные точки соответствуют
\[
\widetilde{\psi}_{0}=0 ; \pi
\]

и
\[
\frac{k_{z}^{2}}{M} \breve{P}_{y}-l \Omega-\omega= \pm \varepsilon e \Phi_{0} \frac{\partial}{\partial \widetilde{P}_{\psi}} \mathcal{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right),
\]

где
\[
\rho=\left(\frac{2}{M \Omega}\right)^{1 / 2}\left(\widetilde{P}_{\varphi}-l \widetilde{P}_{\psi}\right)^{1 / 2} .
\]

Уравнение (2.4.67б) неявно определяет величину $\tilde{P}_{40}$. Линеаризуя по $\tilde{P}_{\psi}$ (но не по $\tilde{\psi}$ ), получаем гамильтониан маятника (2.4.27) с параметрами [см. (2.4.28) и (2.4.29)]
\[
\begin{array}{c}
G=\frac{k_{z}^{2}}{M}, \\
F=-\varepsilon e \Phi_{0} \mathscr{f}_{l}\left(k_{\perp} \rho_{0}\right) .
\end{array}
\]

Согласно (2.4.30), частота малых колебаний равна
\[
\tilde{\omega}_{\psi}=\left|\frac{\varepsilon e \Phi_{0} \mathscr{F}_{l} k_{z}^{2}}{M}\right|^{1 / 2} .
\]

Максимальная амплитуда (на сепаратрисе) получается из (2.4.31)
\[
\Delta \widetilde{P}_{\psi \text { макс }}=\frac{2 \tilde{\omega}_{\psi}}{G} .
\]

Как $\tilde{\omega}_{\psi}$, так и $\Delta \tilde{P}_{\psi \text { макс }}$ пропорциональны $\varepsilon^{1 / 2}$. Определим с помощью (2.2.71) расстояние между соседними резонансами
\[
\delta \widetilde{P}_{\psi}=\frac{M \Omega}{k_{z}^{2}} .
\]

Отношение удвоенной амплитуды колебаний импульса к расстоянию между резонансами равно
\[
\frac{2 \Delta \widetilde{P}_{\psi \text { макс }}}{\delta \widetilde{P}_{\psi}}=\frac{4 \omega_{\psi}}{\Omega} .
\]

Вырождение. Сравним полученные результаты с вырожденным случаем, когда в гамильтониане $(2.4 .65) k_{z} \equiv 0$. Проводя разложение в окрестности центра резонанса как по $\Delta \tilde{P}_{\psi}$, так и по $\Delta \tilde{\psi}$, приходим к гамильтониану гармонического осциллятора с
\[
\begin{array}{c}
G=\varepsilon e \Phi_{0} \frac{\tilde{\sigma}^{2}}{\partial \tilde{P}_{\psi}^{2}} \mathcal{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho_{0}\right), \\
F=-\varepsilon e \Phi_{0} \mathcal{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho_{0}\right) .
\end{array}
\]

Частота малых колебаний и максимальное отклонение импульса равны
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\omega}_{\psi}=\varepsilon\left|e \Phi_{0} \mathscr{F}_{l} \frac{\partial^{2}}{\partial \widetilde{P}_{\psi}^{2}} \mathcal{F}_{l}\right|^{1 / 2}, \\
\Delta \widetilde{P}_{\psi \text { м акс }}=\frac{2 \hat{\omega}_{\psi}}{G} .
\end{array}
\]

Здесь $\omega_{\phi}$ имеет порядок $\varepsilon$, а $\Delta \tilde{P}_{\psi \text { макс }}$ порядка единицы. Сравнивая (2.4.77) с (2.4.71) и (2.4.78) с (2.4.72), мы видим, что при вырождении частота малых колебаний в $\varepsilon^{-1 / 2}$ раз меньше, а максимальное отклонение импульса во столько же раз больше, чем при отсутствии вырождения.

В отличие от случая волны, распространяющейся под углом к магнитному полю, частота возмущения теперь фиксирована и равна $\omega$, поэтому резонанс возможен с одной из гармоник частоты $\Omega$, хотя и при разных значениях импульса $\tilde{P}_{\psi}$. Действительно, подставив $k_{z}=0$ в (2.4.67б), получаем уравнение
\[
\omega+l \Omega \pm \varepsilon e \Phi_{0} \frac{\partial}{\partial \widetilde{P}_{\psi}} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)=0,
\]

определяющее значение $\widetilde{P}_{\psi}$ для неподвижных точек. Корни этого уравнения лежат в некотором интервале значений $k_{\perp} \rho$. Для $\omega+l \Omega=0$, например, их можно найти из условия
\[
\frac{\partial}{\partial \widetilde{P}_{\Psi}} \mathcal{J}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)=0 .
\]

Если же $\omega+l \Omega=\delta \omega$, то, согласно (2.4.79), резонанс имеет место при условии
\[
\left|\varepsilon e \Phi_{0} \frac{\partial}{\partial \widetilde{P}_{\psi}} \mathcal{F}_{l}\left(k_{\llcorner\llcorner} \rho\right)\right|=|\delta \omega| .
\]

В рассматриваемой задаче вырождение возникает, когда направление распространения волны сгановится нормальным к магнитному полю. Чтобы увидеть, как происходит переход, учтем члены порядка $\varepsilon$ в выражении (2.4.38) для параметра $G$ :
\[
G=\frac{k_{z}^{2}}{M}+\varepsilon e \Phi_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial \widetilde{P}_{\psi}^{2}} \mathscr{J}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right) .
\]

Вырождение наступает при
\[
-\frac{k_{z}^{2}}{M} \leqslant \varepsilon e \Phi_{0}\left|\frac{\tilde{\sigma}^{2}}{\partial \tilde{P}_{\psi}^{2}} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)\right| .
\]

Вторичные резонансы. Для получения гамильтониана вторичного резонанса, как и в п. 2.4б, перейдем к переменным $I, \theta$ для малых фазовых колебаний. При $k_{z}
eq 0$ находим
\[
\begin{array}{c}
K_{0}\left(I, \widetilde{P}_{\varphi}\right)=\tilde{\omega}_{\psi} I-\frac{\varepsilon^{2}}{16} G I^{2}+\cdots, \\
\tilde{\psi}=\tilde{\psi}_{0}+\left(\frac{2 I}{R}\right)^{1 / 2} \sin \theta+O(\varepsilon),
\end{array}
\]

где $G$ и $\tilde{\omega}_{\psi}$ определяются выражениями (2.4.69), (2.4.71), а $R=$ $=(F / G)^{1 / 2}$. Низший порядок возмущения выражается в переменных $I, \theta$ аналогично (2.4.47)
\[
\begin{array}{l}
K_{1}=e \Phi_{0} \sum_{m
eq l} \mathscr{J}_{m}\left(k_{-} \rho\right) \sin \left[\tilde{\psi}_{0}+\left(\frac{2 I}{R}\right)^{1 / 2} \sin \theta-(m-l) \tilde{\varphi}\right]= \\
=e \Phi_{0} \sum_{n, m
eq l} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\llcorner} \rho\right) \mathscr{F}_{n}\left[\left(\frac{2 I}{R}\right)^{1 / 2}\right] \sin \left[\tilde{\psi}_{0}+n \theta-(m-l) \tilde{\varphi}\right] .
\end{array}
\]

Оставляя главный член суммы с $m=l+1$, для резонанса гармоники $n$ получаем
\[
K_{1}=K_{n} \sin \left(\tilde{\psi}_{0}+n \theta-\tilde{\varphi}\right),
\]

где
\[
K_{n}=e \Phi_{0} \mathscr{F}_{l+1}\left(k_{\perp} \rho\right) \mathscr{F}_{n}\left[\left(\frac{2 I}{R}\right)\right]^{1 / 2} .
\]

Перейдем к новым медленным переменным
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\theta}=n \theta-\tilde{\varphi}+\tilde{\psi}_{0}-\frac{\pi}{2}, \\
I=n \tilde{I} .
\end{array}
\]

Усредняя (2.4.86) по быстрой фазе $\tilde{\varphi}$, находим гамильтониан вторичного резонанса
\[
\Delta \bar{K}=\frac{1}{2} G_{\mathrm{s}}(\Delta \tilde{I})^{2}-F_{\mathrm{s}} \cos \tilde{\theta},
\]

где для $G_{s}$ и $F_{s}$ с помощью формул (2.4.84) и (2.4.87) при $\varepsilon \equiv 1$ имеем
\[
\begin{array}{l}
G_{s}=-\frac{G}{8} n^{2}, \\
F_{s}=-K_{n} .
\end{array}
\]

Частота малых колебаний и максимальное отклонение импульса аналогично предыдущему равны
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\omega}_{s}=\left(F_{s} G_{s}\right)^{1 / 2}, \\
\Delta \tilde{I}_{\text {макс }}=\frac{2 \tilde{\omega}_{s}}{G_{s}} .
\end{array}
\]

Расстояние $\delta \tilde{I}$ между соседними вторичными резонансами (гармоники $n$ и $n+1$ ) можно найти, используя (2.4.88б) и соотношения
\[
n \tilde{\omega}_{\psi}-\Omega=0, \quad(n+1)\left(\tilde{\omega}_{\psi}+\frac{G_{s} \delta \tilde{I}}{n}\right)-\Omega=0,
\]

откуда (при $n \gg 1$ )
\[
\delta \widetilde{I}=\frac{\tilde{\omega}_{\psi}}{G_{s}} .
\]

С помощью выражения (2.4.92) для $\Delta \tilde{I}_{\text {макс }}$ получаем для вторичного резонанса
\[
\frac{2 \Delta \widetilde{I}_{\text {manc }}}{\delta \widetilde{I}}=\frac{4 \omega_{s}}{\widetilde{\omega}_{\psi}},
\]

что совпадает по форме с аналогичным соотношением (2.4.74) для первичного резонанса. По индукции заключаем, что это отношение сохраняет свой вид и для резонансов более высоких уровней (третичных и так далее), т. е. оно является универсальным. Заметим, что вторичным и более высокого уровня резонансам отвечают невырожденные гамильтонианы.
Численные эксперименты. Детальные численные исследования были выполнены Смитом и Кауфманом [385, 386] для невырожденного случая (косая волна) и Карни, Берсом, Фукуямой и др. [222, 220, 145 ] для вырожденного случая (перпендикулярная волна).

Для косой волны Смит и Қауфман исследовали движение вблизи резонансов с $l=k_{z} v_{z} / \Omega=-1 ; 0 ; 1$ в системе отсчета волны $(\omega=0)$. Они выбрали $k_{\perp}(2 E / M)^{1 / 2} / \Omega=1,48$, где $E$ дается выраже-

Рис. 2.10. Поверхность сечения в переменных $k_{z} v_{z} / \Omega \propto P_{\psi}$ и $k_{z} z=\psi$ в случае взаимодействия частицы с косой ( $k_{2}
eq 0$ ) волной (численное моделирование) (по данным работы [385]).
$a$ – слабое возмущение $\left(\tilde{\Phi}=k_{z}^{2} e \Phi_{0} / M \Omega^{2}=0,025\right) ; \sigma$ – сильное возмущение ( $\tilde{\Phi}=0,1$ ). Численные результаты представлены точками, которые соединены от руки сплошными линиями (для регулярных траекторий). Начальные условия отмечены крестиками. Видны три резонанса.

нием (2.2.66) при $\omega \equiv 0, \varepsilon \equiv 1$ и $k_{z}=k_{\perp}$, что обеспечивает близкое к максимальному значение функции Бесселя $\mathcal{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)$. Их peзультаты для зависимости $v_{z}\left(\propto P_{\psi}\right)$ от $\psi$ приведены на рис. $2.10, a$

Рис. 2.11. То же, что и на рис. 2.10 для $k_{z}=0$ и $\omega / \Omega=-30$ (по данным работы [219]).
$a$ – слабое возмущение; б – более сильное возмущение.
и б при $k_{z}^{2} e \Phi_{0} / M \Omega^{2}=0,025$ и 0,1 соответственно. На рис. $2.10, a$ видны первичные резонансы, относительная частота малых фазовых колебаний которых равна $\tilde{\omega}_{\psi} / \Omega=1 / 10$, что согласуется с формулой (2.4.71). Вторичные резонансы в этом случае слишком малы и поэтому неразличимы. На рис. 2.10, б видны вторичные резонансы пятой гармоники, т. е. с частотой $\tilde{\omega}_{\psi} / \Omega=1 / 5$, что опять согласуется с (2.4.71). Размеры вторичных резонансов можно приблизительно вычислить из соотношения (2.4.92). Разбросанные в окрестности сепаратрис резонансов $l=-1$ и $l=0$ точки представляют стохастические траектории (см. § 1.4). Решения, полученные в данной главе с помощью метода усреднения, совершенно не отражают стохастическое поведение. Обратим также внимание на резонансы второй гармоники, расположенные между областями главных резонансов; это явление обсуждается в последующих главах.

Сопоставим эти результаты с тем, что получается в случае перпендикулярной волны, который численно исследован Карни [219]. На рис. 2.11, $a$ и $б$ приведены его результаты для поверхности сечения $\varphi=\pi$ при $l=-30$. Относительная частота малых фазовых колебаний первичного резонанса $\alpha=\widetilde{\omega}_{\psi} / \Omega \approx 1 / 9$ для меньшего возмущения и $\alpha \approx 1 / 5$ для большего. В первом случае инвариантные кривые почти совпадают с полученными из усредненного гамильтониана $(2.4 .65)^{1}$ ) при $k_{z}=0$. При большем возмущении возникает, как и ожидалось, цепочка из пяти островов и другие уже привычные нам детали. Размер первичных резонансов примерно одинаковый в обоих случаях, поскольку, как было показано выше, этот размер не зависит от возмущения. Как и для косой волны, исследование проводилось при значениях $k_{\perp} \rho$, близких к максимуму $\mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)$. Аналогичные результаты для другой задачи были получены Фордом и Лансфордом [134].