Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике За достаточно большое время резонансы могут оказать сильное влияние на диффузию даже под действием слабого шума. Так, например, если в системе есть бсльшие (неперекрывающиеся) резонансы, то малое внешнее возмущение может перевести траекторию с нерезонансной инвариантной кривой на резонансную. Пусть время между внешними «толчками» велико по сравнению с периодом фазовых колебаний. Тогда следующий толчок может произойти уже на другой стороне резонанса. Прн этом характерный коэффициент диффузии в окрестности резонанса значительно возрастет $\mathbf{1}$ ): где $\Delta I$ – ширина резонанса, а $\tau$ – время между двумя случайными толчками. Однако если значительные области фазового пространства не содержат больших резонансов, то, как будет видно, малая скорость нерезонансной дхффузии существенно подавляет глобальную диффузию. где $\xi$ имеет гауссово распределение с дисперсией $\sigma$ : Тогда вероятность перехода (5.4.25) принимает вид Подставив это выражение в (5.4.33) и проинтегрировав по $\theta$ и $I^{\prime}$, получим (5.4.34) с дополнительным множителем В результате вместо (5.4.37б) приходим к следующему рекуррентному соотношению: Используя фурье-траектории, изображенные на рис. $5.12,6-e$, получаем коэффициент диффузии который обобщает соотношение (5.4.45), учитывая влияние внешнего шума при $K \gg 1$. Рис. 5.16. Зависимость скорости диффузии $D / D_{1}$ от $K$ для различных условий внешнего шума о (по данным рабэты [346]). Более интересным является случай $K \ll 1$. Речестер и др. [346] показали, что в низшем порядке по $K$ вклад в коэффициент диффузии дают только фурье-траектории с $l=0$ и $l=1$, причем для Рис. 5.17. Фазовая плоскость стандартного отображения. где $D_{1}=K^{2} / 4$ – квазилинейный коэффициент диффузии. Для определения поправок к $D_{n}$ было проведено численное суммирование по многим фурье-траекториям. На рис. 5.16 эти результаты (сплошные кривые) сравниваются с данными численного моделирования (кружки). Для малых $K$ значения $D$ сходятся к (5.5.9), а для больших $K$ величина $D$ не зависит от $\sigma$. Для нас представляет интерес область $K \leqslant 1$, где инвариантные кривые препятствуют развитию внутренней глобальной стохастичности. Качественно эти результаты можно получить из следующих простых соображений (рис. 5.17). Прежде всего заметим, что изменение фазы $\theta$ на величину $\xi \ll 1$ приводит, как это следует из (5.5.3), к изменению действия Усреднение по распределению (5.5.4) и по $\theta$ дает Принимая $I_{m} \approx K / 2$, получаем коэффициент диффузии что совпадает при малых $\sigma$ и $K$ с (5.5.9) ${ }^{1}$ ). где, согласно (4.1.29), ширина целого резонанса на рис. 5.17 равна $2 K^{1 / 2}$, и мы пренебрегаем влиянием других резонансов. Примем далее, что половина траекторий, попадающих на границу резонанса (в точке $A$ ), совершает полпериода фазовых колебаний (от $A$ до $C^{\prime}$ ) и половина из них выходит из резонанса (в точке $C^{\prime}$ ). Таким образом, четверть всех траекторий проходит резонанс и попадает в группу быстрых траекторий. Эффективный коэффициент диффузии равен Используя для $D_{s}$ выражение (5.5.12), получаем с учетом (5.5.13) результат, показанный на рис. 5.16 пунктирной кривой. Несмотря на грубость оценки, она дает разумные значения даже для $K \geq 1$, где внутренняя стохастичность становится глобальной. Связано это с тем, что если $K$ незначительно превышает критическое значение $K=1$, то средняя скорості диффузии по-прежнему определяется шумом, поскольку внутренняя диффузия является очень медленной. Другой более эффективный механизм усиления внешней диффузии резонансами будет рассмотрен в п. 6.3б. Последнее равенство определяет средние по области значения $D$ и $d P / d I$. Таким образом, и усреднение по интервалу $\Delta I$ дает или Это соотношение показывает, что $\langle D\rangle$ определяется в основном теми областями, в которых величина $1 / D$ максимальна, т. е. $D(I)$ минимальна. Возвращаясь к оценке скорогти медленной диффузии (5.5.12), мы видим, что ее можно сделать более аккуратно, если найти зависимость $I_{m}(I)$ и усреднить по $I$ : В заключение подчеркнем различие между усреднением диффузии по различным траекториям и усреднением по фазовому пространству. В первом случае усредняется сам коэффициент диффузии $D$, а во втором – его обратное значение $1 / D$.
|
1 |
Оглавление
|