Для системы с одной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени, всегда существует интеграл движения. В многомерном случае, если переменные в уравнении Гамильтона-Якоби полностью разделяются, можно найти $N$ интегралов движения, которые «развязывают» все $N$ степеней свободы. Обозначим производяцую функцию $F_{2}$ через $S$ и примем, что в случае полного разделения переменных решение имеет вид
\[
S=\sum_{i} S_{i}\left(q_{i}, \alpha_{1} \ldots \alpha_{N}\right),
\]

где $\alpha_{i}$ – новые импульсы, связанные с $N$ интегралами движения.

Если, кроме того, гамильтониан можно записать в виде суммы ${ }^{1}$ )
\[
H=\sum_{i} H_{i}\left(\frac{\partial S_{i}}{\partial q_{i}}, q_{i}\right),
\]

то из-за независимости переменных $q_{i}$ уравнение ГамильтонаЯкоби (1.2.15) распадается на $N$ уравнений
\[
H_{i}\left(\frac{\partial S_{i}}{\partial q_{i}}, q_{i}\right)=\alpha .
\]

Решив их, найдем зависимость $S_{i}$ от $q_{i}$. Новые импульсы $\alpha_{i}$ оказываются при этом постоянными разделения для уравнения Гамильтона-Якоби и удовлетворяют соотношению
\[
\sum_{i} \alpha_{i}=H_{0} \text {. }
\]

Связь между старыми и новыми каноническими переменными дается соотношением (1.2.13). Новый гамильтониан $\bar{H}$ зависит только от импульсов $\alpha_{i}$, и уравнения Гамильтона решаются тривиально.

Выбор постоянных $\alpha_{i}$ в качестве новых импульсов является произвольным. Вместо этого мсжно выбрать любые $N$ величин $J_{i}$, являющихся независимыми функциями $\alpha_{i}$ :
\[
J_{i}=J_{i}(\alpha) .
\]

Если эти $N$ уравнений обратить,
\[
\alpha_{i}=\alpha_{i}(J),
\]

и подставить в (1.2.49), то получим производящую функцию для преобразования к новым импульсам $J_{i}$ :

и новый гамильтониан
\[
\bar{S}(q, J)=S(q, \alpha(J))
\]
\[
\bar{H}(J)=\sum_{i} \alpha_{i}(J) .
\]

Решение уравнений Гамильтона и в этом случае тривиально.
Для периодических систем с полностью разделяющимися переменными очень удобно выбрать функции $\boldsymbol{J}(\boldsymbol{\alpha})$ специальным образом. При этом под периодическими мы подразумеваем такие системы, в которых по каждой степени свободы либо $p_{i}$ и $q_{i}$ являются периодическими функциями времени одного периода, либо $p_{i}$ периодически зависит от $q_{i}$. В первом случае говорят о колебаниях, а во втором – о вращении. Периоды движения по каждой степени свободы не обязательно одинаковы. Если они не находятся в рациональном отношении, то движение называется квазипериодическим ${ }^{2}$ ). Для определения переменных действия $J_{i}$ как функций $\alpha$
1) Это условие, вообще говоря, излишне и приведено, видимо, только для упрощения изложения (см., например, [453]).- Прим. перев.
2) В оригинале – conditionally periodic (условно периодическое) – менее распространенный синоним квазипериодического.- Прим. перев.

запишем интеграл (1.2.40), используя для $p_{i}$ выражение (1.2.13a),
\[
J_{i}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{i} d q_{i}=\frac{1}{2 \pi} \oint-\frac{\partial S_{i}\left(q_{i}, \boldsymbol{\alpha}\right)}{\partial q_{i}} d q_{i},
\]

где $J_{1}, \ldots, J_{N}$ – новые сохраняющиеся импульсы. Обращение этого выражения дает новую производящую функцию $\bar{S}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{J})$. Согласно (1.2.24), сопряженные координаты имеют вид
\[
\theta_{i}=\mathbf{o}_{i} t+\boldsymbol{\beta}_{i},
\]

где $\omega_{i}$ и $\beta_{i}$ – постоянные. Интегрируя $\theta_{i}$ по полному периоду колебаний $T$, получаем
\[
\theta_{i}=\int_{i}^{t+T} d \theta_{i}=\omega_{i} T .
\]

Но, с другой стороны, из (1.2.13б) следует
\[
d \theta_{i}=\frac{\partial}{\partial q_{i}} \frac{\partial \bar{S}}{\partial J_{i}} d q_{i} .
\]

Подставляя это выражение в (1.2.58), меняя порядок дифференцирования и интегрируя по периоду, находим
\[
\Delta \theta_{i}=\frac{\partial}{\partial J_{i}} \oint \frac{\partial \bar{S}}{\partial q_{i}} d q_{i}=\frac{\partial}{\partial J_{i}} \oint p_{i} d q_{i}=2 \pi .
\]

Сравнение (1.2.58) с (1.2.60) дает
\[
\omega_{i} T=2 \pi,
\]
т. е. постоянные $\omega_{i}$ есть просто частоты колебаний. Таким образом, использование переменных действие – угол представляет собой удобный способ получения частот колебаний, не требующий выяснения деталей движения. При исследовании движения систем, близких к интегрируемым, удобно предварительно перейти к переменным действие – угол в интегрируемой части системы, а уже затем использовать теорию возмущений или другие методы.
Гармонический осциллятор. Проиллюстрируем достоинства переменных действие – угол на примере гармонического (линейного) осциллятора, гамильтониан которого имеет вид
\[
H=G \frac{p^{2}}{2}+F \frac{q^{2}}{2}=\alpha,
\]

где $G, F$ и $\alpha$ – постоянные. Определив $p(q, \alpha)$ и вычислив интеграл
\[
J=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{q_{\mathrm{MaKC}}}\left(\frac{2 \alpha}{G}-\frac{F}{G} q^{2}\right)^{1 / 2} d q,
\]
1) Выражение (1.2.60) сразу получается из определения (1.2.56) для $J$ при $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{J}, \boldsymbol{q}=\theta .-$ Прим. ред.

где $q_{\text {макс }}=(2 \alpha / F)^{1 / 2}$, получим
\[
J=\alpha(F G)^{-1 / 2} .
\]

Отсюда и из (1.2.55) гамильтониан равен
\[
\bar{H}=(F G)^{1 / 2} J
\]

и не зависит от угловой переменной. Частота колебаний равна $\omega_{0}=\partial \bar{H} / \partial J=(F G)^{1 / 2}$. Подставляя $\alpha$ из (1.2.64) в (1.2.62), получаем одно из уравнений каноничєского преобразования
\[
p=p(q, J)=\left(2 R J-R^{2} q^{2}\right)^{1 / 2},
\]

где $R=(F / G)^{1 / 2}$. Из (1.2.13a)
\[
\bar{S}=\int_{0}^{q}\left(2 R J-R^{2} q^{2}\right)^{1 / 2} d q
\]

и из (1.2.13б) находим второе уравнение
\[
\theta=R \int_{0}^{q}\left(2 R J-R^{2} q^{2}\right)^{-1 / 2} d q
\]

которое после интегрирования дает
\[
q=(2 J / R)^{1 / 2} \sin \theta .
\]

С учетом (1.2.66) имеем
\[
p=(2 J R)^{1 / 2} \cos \theta .
\]

Уравнения (1.2.68) определяют преобразование от переменных действие – угол к исходным переменным $p, q$. Это преобразование обычно получается при помощи производящей функции типа $F_{1}(q, \bar{q})$, которая имеет вид
\[
F_{1}=\frac{1}{2} R q^{2} \operatorname{ctg} \theta
\]

Отметим также, что эллипс, определяемый уравнением (1.2.62), можно канонически преобразовать в круг, изменяя масштаб: $p=$ $=\sqrt{R} p^{\prime} ; q=q^{\prime} / \sqrt{ } \bar{R}$. Отсюда, ясно, что в переменных действие угол $(J, \theta)$ движение представляет собой вращение некоторого вектора постоянной длины $J$. Это немедленно приводит к уравнениям преобразования (1.2.68), из которых видно также, что величина $R$ равна отношению полуосей исходного эллипса.

Ниже мы увидим, что переход к переменным действие – угол особенно эффективен в случае медленного изменения величин $F$ и $G$ со временем или в зависимости от координаты по другой степени свободы. В этом случае $J$ является адиабатическим инвариантом движения, т. е. мало изменяется даже при значительном изменении $\omega_{0}$ и $\bar{H}$ (см. также [265], гл. 2). Для нелинейных колебаний преобразование (1.2.68) не приводит к переменным действиеугол. Тем не менее, как мы увидим в гл. 2, его можно использовать при построении рядов теории возмущений. Общий же метод введения переменных действие – угол, развитый в этом параграфе, применим, как будет видно ниже, и к нелинейному осциллятору.