Рассмотрим общее поведение системы связанных нелинейных осцилляторов и структуру их фазсвого пространства. Основным результатом здесь является теорема KАМ, гарантирующая существование инвариантных торов для систем как с двумя, так и с бо́льшим числом степеней свободы. Однако некоторые следствия теоремы КАМ существенно различаются для этих двух случаев. Так, диффузия Арнольда возможна лишь в последнем случае. Мы отложим обсуждение этого вопроса до гл. 6. Здесь же для иллюстрации теоремы КАМ и характерной структуры фазового пространства мы ограничимся рассмотрением двумерных (сохраняющих площадь) отображений с некоторыми естественными обобщениями на случай большего числа степеней свободы.
1) При этом считается, что $n$ изменяется непрерывно. Напомним также, что «время» $n$ не совпадает с физическим временем $t\left(d n / d t \approx \omega_{N} / 2 \pi\right)$, причем зависимость $t(n)$ может быть очень сложной, так как $\omega_{N}=\omega_{N}\left(J_{1}\right)$, а $J_{1}-$ может изменяться хаотически. – Прим. ред.
${ }^{2}$ ) И конечно, совершенно не похож на исходный физический гамильтониан $H$ с двумя степенями свободы. Тем не менее траектории обеих систем совпадают для целочисленных моментов «времени» $n$. Однако для привязки к физическому времени $t$ необходимо знать зависимость $\omega_{2}\left(J_{1}\right) \approx$ $\omega_{2}\left(J_{1}, J_{2}\left(H_{0}, J_{1}\right)\right)$, или исходный гамильтониан $H_{0}\left(J_{1}, J_{2}\right)$. Прим. ред.