Современные быстродействующие ЭВМ позволяют получить сотни тысяч итераций рассмотренных выше отображений. Для исследования всей фазовой плоскости разобьем интервал фазы $(0,1)$ или $(0,2 \pi)$ на 100 ячеек, а интервал скорости ( $0, u_{\text {макс }}$ ) на 200 ячеек. На рис. 3.12 приведены численные результаты для упрощенного отображения (3.4.4) с $M=10$ после 163840 итераций для каждой из 10 траекторий, использованных в счете. На рисунке отмечены ячейки, в которые попала хотя бы одна из этих траекторий. В правой части рисунка показано распределение плотности $P(u)$, проинтегрированное по фазе и по всем итерациям. Начальные условия движения выбраны случайно в области малых скоростей частицы. При этом каждая траектория заполняет всю стохастическую компоненту движения, и конечное распределение на фазовой плоскости не зависит от начальных условий. Незаполненные траекториями островки устойчивости ограничены инвариантными кривыми, и поэтому частицы не могут попасть в них извне. Центрами островков являются эллиптические точки. Ниже мы покажем, что при $u<\frac{1}{2} M^{1 / 2}$ линеаризованное движение в окрестности всех неподвижных точек неустойчиво. Это видно и непосредственно из картины фазовой плоскости на рис. 3.12. Эллиптическая точка при $u=M$ соответствует резонансу $1: 1$ между колебаниями частицы и стенки. При меньших значениях скорости частицы $(M / u=2$, $3,4, \ldots)$ расположены целые резонансы $2: 1,3: 1,4: 1, \ldots$, при которых стенка совершает соответственно два, три, четыре и т. д. колебания за время одного колебания частицы.

Рис. 3.12. Фазовая плоскость $(u, \psi)$ и функция распределения $P(u)$ для отображения (3.4.4) (по данным работы [274]).
10 траекторий по 163840 итераций; $M=10$. Пунктирная крнвая рассчитана по резонансной теории возмущений.

Между этими целыми резонансами ( $k=1$ ) находятся дробные резонансы с $k>1$. Так, например, между целыми резонансами $M / u=1(u=10)$ и $M / u=2(u=5)$ расположен резонанс $M / u=$ $=3 / 2(u \approx 6,67)$, соответствующий трем колебаниям стенки на два колебания частицы (см. рис. 3.12). Этот резонанс отделен в свою очередь от целого резонанса другими резонансами с еще бо́льшими $k$. Число вращения дробных резонансов вблизи края целого резонанса приблизительно совпадает с числом вращения последнего вследствие линейной зависимости $f(\psi)$ в рассматриваемом случае (3.4.4). По этой же причине внутри целых резонансов нет вторичных резонансов, а траектории фазовых колебаний мало отличаются от эллипсов ${ }^{1}$ ).

Аналогичное численное моделирование было проведено как для отображения (3.4.6) (см. рис. 1.14), так и для отображения (3.4.5) (рис. 3.13). В последнем случае $M=10$, а число итераций каждой из 10 траекторий равно 81920 . Размер областей устойчивости при малых скоростях здесь существенно меньше, чем на рис. 3.12, из-за наличия вторичных резонансов. Помимо этого, существует

Рис. 3.13. То же, что и на рис. 3.12 для отображения (3.4.5) (по данным работы [274]).
10 траекторий по 81920 итераций.

верхняя граница скорости $u$, (граница стохастичности ${ }^{2}$ )), выше которой сохраняются невозмущенные инвариантные кривые, пересекающие весь интервал изменения фазы $\psi$. Кажущееся противоречие, что более устойчивое движение соответствует нелинейной функции $f(\psi)$, объясняется тем, что «линейная» зависимость $f(\psi)$ является на самом деле разрывной. Это и приводит к разрушению инвариантных кривых. Более важно, как показывают результаты численного моделирования отображения (3.4.5), что для существования инвариантных кривых необходимо и достаточно, чтобы гамильтониан (производящая функция) отображения имел две непре-
1) С этим же связана еще одна особенность отображения (3.4.3) — отсутствие гиперболических неподвижных точек ( $M>0$ ) вследствие разрыва функции $f(\psi)$ при $\psi=0(1) .-П р и м$. ред.
${ }^{2}$ ) В оригинале используется редко употребляемый термин absolute barrier (абсолютный барьер).- Прим. перев.

рывные производные ( $S=2)^{1}$ ). Действительно, для отображения (3.4.5) производная $d f / d \psi$ непрерывна, а $d^{2} f / d \psi^{2}$ разрывна и гамильтониан
\[
H \sim \int f d \psi \text {. }
\]

Полученное значение $S=2$ на единицу меньше лучшей (достаточной) оценки Мозера [310] для произвольного отображения ${ }^{2}$ ).

Рис. 3.14. Фазовая плоскость отображения Улама с $M={ }_{\leftarrow}^{-} 1,25$ и $v=2 u / M$ (по данным работы [38]).
Видна сложная структура регулярных траекторий,
На рис. 3.12 и 1.14 пунктиром показаны сепаратрисы резонансов, вычисленные из гамильтониана в п. $3.4 \mathrm{e}$. В первом случае сепаратриса имеет приближенно эллиптическую форму, тогда как на рис. 1.14 явно видна неустойчивость движения в окрестности
1) Это заключение противоречит оценке (3.2.30) и является спорным. Ограничение диффузии на рис. 3.13 объясняется, по-видимому, просто ее малой скоростью на резонансах высоких гармоник. Подобные эффекты наблюдались неоднократно и при меньших $S$ (см., например, [475, § 4.1] и, $[482, \S 6]$, где обсуждается также возможный механизм этого явления). Прим. ред.
${ }^{2}$ ) См. примечание редактора на. с. 193.- Прим. ред.

сепаратрисы из-за образования вторичных резонансов. Некоторый перекос резонанса по сравнению с расчетным вызван пренебрежением поворотом главных осей (см. рис. $3.9, a$ ).

Хотя численные данные на рис. 3.12 и 3.13 хорошо представляют крупномасштабную структуру фазовой плоскости, они не отражают более мелкие детали этой структуры. Последние можно выявить, если проводить численное моделирование с бо́льшим количеством начальных условий. Именно такое исследование было выполнено Брахичем [38] для огображений с различными $f(\psi)$, а также для точного отображения (3.4.1). В последнем случае ${ }^{1}$ ) его результат для $M=1,25$ показан на рис. 3.14. При сравнении с рис. 3.12 следует учесть сдвиг фазы на $1 / 2$. На рис. 3.14 хорошо виден целый резонанс $k=1$ при $v=2,2$, а также дробные резонансы с $k=3$ и $k=2$, расположенные соответственно при бо́льших скоростях $v$. Вблизи целого резонанса имеется еще и резонанс с $k=6$, который деформирует сепаратрису первого. Резонанс $k=6$ связан с небольшой нелинейностью из-за смещения стенки и зависимости $1 / u$ для сдвига фазы. Наконец, в верхней части рис. 3.14 виден вторичный резонанс пятой гармоники, относящийся к целому первичному резонансу $k=1$. Последний похож на вторичные резонансы для отображения Хенона (см. рис. 3.6).