В табл. 4.2 сравниваются различные критерии перехода от локальной к глобальной стохастичности для стандартного отображения. Критерии расположены в порядке возрастания их эффективности. Поскольку не существует полной аналитической теории перехода к стохастичности, то чем эффективнее критерий, тем более существен в нем элемент численного анализа, необходимого для получения критического значения $K$. Поэтому все критерии представлены также через более физическую характеристику – число вращения $\alpha_{0}=1 / Q_{0}$ для целого резонанса ${ }^{1}$ ), которое легко определяется как численно, так и аналитически. Тот факт, что переход к глобальной стохастичности почти точно совпадает с $\alpha_{0}=1 / 6$, может помочь более глубокому пониманию этого явления. Для стандартного отображения критерий $\alpha_{0}=1 / 6$ приводит с помощью (4.1.31) к критическому значению параметра перекрытия
\[
\frac{2 \Delta I_{\text {макс }}}{\delta I} \approx \frac{2}{3} .
\]

Если перекрываются резонансы несколько разной ширины, как, например, для отображения Улама, то «правило двух третей» (4.7.1) можно обобщить следующим образом:

Для отображения Улама численно найденная граница стохастичности на рис. 3.15 согласуется с условием (4.7.2). Если же соседние резонансы значительно отличаются по ширине, то оценки, полученные для стандартного отображения, неприменимы. В случае
1) Это утверждение спорно, поскольку $\alpha_{0}$ характеризует центр резонанса, тогда как ғраница стохастичности определяется окрестностью сепаратрисы. Приближенное совпадение критического $K$ с $Q_{0}=6$ остается необъясненным и справедливо, возможно, только для стандартного отображения. Во всяком случае, при перекрытии двух резонансов (§4.5) $Q_{0}=2 k / X$ и изменяется в широких пределах (см. рис. 4,12).- Прим. ред.

Таблица 4.2. Граница стохастичности для стандартного отображения а)
a) $I_{n+1}=I_{n}+K \sin \theta_{n} ; \quad \theta_{n+1}=\theta_{n}+I_{n+1}$.
б) $Q_{0}$-номер гармоники вторичного резонанса;
\[
\cos \left(2 \pi / Q_{0}\right)=1-K / 2 \text {. }
\]
в) 1.06 с эвристическими поправками [70].
г) $\alpha$-число вращения «последней» (самой устэйчивой) инвариантной кривой между целыми резонансами; $\alpha_{g}=(\sqrt{5-1}) / 2-$ «злотое сечениез.

двух резонансов достаточно эффективную оценку можно получить графически из рис. 4.12. Из данных на рисунке можно найти также число вращения $\alpha \approx(k+n)^{-1}$ (вообще говоря, $\alpha
eq \alpha_{g}$ ), а значит, и значение $J$ для последней инвариантной кривой.

Результаты, полученные для отображения Улама с двумя гармониками возмущения произвольной амплитуды [202] (см. 6.5.1), показывают, что даже в случае значительной разницы амплитуд правило двух третей «работает» удивительно хорошо. Критерий двух резонансов (рис. 4.12) в этом случае также дает вполне хорошие результаты. Однако, поскольку в системе имеется много различных резонансов, нужно очень аккуратно выбирать в интересующей нас области фазового пространства два наиболее существенных из них.