Перемешивание. Понятие перемешивания является по существу эчень простым. Возьмем сосуд, содержащий, например, $20 \%$ рсма и $30 \%$ пепси-колы, причем вначале распределение рома в сосуде произвольно, скажем, сплошной слой. Если теперь начать разменивать жидкость, то естественно ожидать, что после достаточно цлительного размешивания любой сколь угодно малый объем жидцости будет содержать «приблизительно» $20 \%$ рома. Формализация подобного процесса і приводит к понятию перемешибания.

Перемешивание подразумевает некоторое «огрубление» фазового пространства, т. е. исследование его малых, но конечных областей ${ }^{1}$ ).

Можно показать [14 ], что перемешивание влечет за собой эргодичность. Однако обратное неверно: из эргодичности не следует перемешивание. Это сразу видно на примере отображения на торе (5.2.4), как показано на рис. 5.1, в. Разделим траектории на две группы – «серые» и «темные». Ясно, что в процессе движения они будут сохранять свое относительное расположение даже при иррациональном $\alpha$, когда каждая траектория покрывает весь тор. Это и означает отсутствие перемешивания.

При $t \rightarrow \infty$ система с перемешиванием приближается к равновесному состоянию: $f(\boldsymbol{x}) \rightarrow\langle f\rangle$. Покажем это на примере «отображения пекаря»
\[
\left(\begin{array}{l}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
\left(\begin{array}{l}
2 x_{n} \\
y_{n} / 2
\end{array}\right), & 0<x_{n}<1 / 2, \\
\left(\begin{array}{ll}
2 x_{n}-1 \\
\left(y_{n}+1\right) / 2
\end{array}\right), & 1 / 2 \leqslant x_{n}<1,
\end{array}\right.
\]

которое качественно обсуждалось в § 1.4. Следуя Форду [133] и Берри [26], покажем, что «огрубленная» функция распределения приближается к равновесной функции (константе). Из (5.2.21) получаем отображение для $f$ :
\[
f_{n+1}(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
f_{n}\left(\frac{x}{2}, 2 y\right), & 0<y<1 / 2, \\
f_{n}\left(\frac{x+1}{2}, 2 y-1\right), & 1 / 2 \leqslant y<1 .
\end{array}\right.
\]

Так как $f$ быстро расслаивается по $y$, то для огрубления $f_{n}$ проведем усреднение по этой переменной:
\[
g_{n}(x)=\int_{0}^{1} f_{n}(x, y) d y .
\]

Қак мы увидим в § 5.4, это эквивалентно интегрированию по быстроосциллирующей фазе. Проведн усреднение для (5.2.22), получим
\[
g_{n+1}(x)=\int_{0}^{1 / 2} f_{n}\left(\frac{x}{2}, 2 y\right) d y+\int_{1 / 2}^{1} f_{n}\left(\frac{x+1}{2}, 2 y-1\right) d y=
\]
1) Понятие «огрубление» относится к функции распределения, а не к фазовому пространству, которое в классической механике является непрерывным. Более того, эта непрерывность и есть источник случайности динамических траекторий (см. примечание редєктора на с. 307). Правильнее было бы сказать, что перемешивание является интегральным, а не локальным свойством движения, которое формально определяется условием (см., например, [486]): $\left\langle f\left(T^{n} \boldsymbol{x}\right) g(\boldsymbol{x})\right\rangle \rightarrow\langle f(\boldsymbol{x})\rangle\langle g(\boldsymbol{x}\rangle$ при $n \rightarrow \pm \infty$, где $f, g \rightarrow$ любые (неогрубленные) функции.- Прим. ред.

\[
=\frac{1}{2}\left[g_{n}\left(\frac{x}{2}\right)+g_{n}\left(\frac{x+1}{2}\right)\right] .
\]

Таким образом, отображение для огрубленной функции $g$ сводится к усреднению $g$ по двум половинам фазового квадрата. Это приводит в конце концов к однородной по $x$ функции $g$, как и должно быть при перемешивании ${ }^{1}$ ).

Интуитивно ясно, что рассматривавшиеся в предыдущих параграфах стохастические системы являются перемешивающимися (в пределах стохастической компоненты движения). Однако это очень трудно строго доказать в конкретных случаях. Синаю [377] удалось сделать это для системы твердых шариков (см. п. 1.4а). Доказательство основано на рассеянии пучка траекторий при столкновении шариков (см. рис. $1.15, a$ ). Хотя этот частный результат и не доказывает наше предположение о перемешивании для типичной системы, близкой к интегрируемой, однако он оправдывает подобные эмпирические обобщения, получаемые методом численного моделирования.
K-системы. К-системы называются по имени Қолмогорова, который ввел это понятие в работе $[230]^{2}$ ). Эти системы имеют положительную КС-энтропию (энтропию Колмогорова). КС-энтропия (по имени Крылова [241], Колмогорова [230] и Синая [376, 378 l) определялась первоначально [230] посредством построения специального разбиения фазового пространства. В момент времени $t=0$ разделим пространство на множество $\left\{A_{i}(0)\right\}$ малых ячеек конечной меры и рассмотрим их эволюцию обратно по времени на единичном временно́м интервале э). В результате получим новое множество $\left\{A_{i}(-1)\right\}$. Қаждый элемент пересечения этих двух множеств $B(-1)=\left\{A_{i}(0) \cap A_{j}(-1)\right\}$ имеет, как правило, меньшую меру, чем элемент $A_{i}(0)$. Продолжая этот процесс, построим элементы множества
\[
B(-2)=\left\{A_{i}(0) \cap A_{i}(-1) \cap A_{k}(-2)\right\}
\]

и т. д. Можно показать, что для того чтобы мера элемента $B$ (-t) экспоненциально уменьшалась при $t \rightarrow \infty$, должно выполняться условие
\[
h_{A}\left(\left\{A_{i}(0)\right]\right)=-\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \sum_{i=1}^{R_{t}} \mu\left[B_{i}(-t)\right] \ln \mu\left[B_{i}(-t)\right]>0,
\]
1) Если переменные $x$ канонические, что в данном примере выполняется.Прим. ред.
2) Сам Колмогоров назвал их квазирегулярными, имея в виду свойства регулярного (типичного) случайного прэесес. По поводу определения К-системы, или К-свойства движения см. примечание редактора на с. 301.Прим. ред.
3) Эволюция крупноструктурной (огрубленной) функции распределения $A_{i}(t)$ назад по времени соответствует движению по траекториям вперед по времени [ср. (5.2.21) и (5.2.22)].- Прим. ред.

где $R_{t}$ – число элементов $B(-t)$, а $\mu\left[B_{i}(-t)\right]$ – мера элемента $B_{i}$. Величина $h_{A}$ имеет смысл средней скорости экспоненциального уменьшения $\mu\left(B_{i}\right)$. Тогда КС-энтропия $h$ есть максимум (верхняя грань) $h_{A}$ по всем измеримым начальным разбиениям фазового пространства ${ }^{1}$ ).

Так как КС-энтропия положительна только в случае экспоненциального уменьшения средней меры элемента $B$ (назад по времени), то неудивительно, что она связана со средней скоростью экспоненциальной расходимости близких траекторий (вперед по времени), т. е. с показателями Ляпунова. Явное выражение для этой связи было получено Песиным [335], и его можно записать в виде
\[
h=\int_{\mathscr{M}}\left[\sum_{\sigma_{i}} \sigma_{i} \sigma_{i}(\boldsymbol{x})\right] d \mathscr{A} .
\]

Здесь суммирование производится по всем положительным показателям Ляпунова, а интеграл берется по некоторой инвариантной области фазового пространства. Вообще говоря, КС-энтропия понимается как некоторая характеристика одной стохастической компоненты движения. В этом случае значения $\sigma_{i}$ не зависят от $\boldsymbol{x}$ и интеграл по $\mathscr{M}$ равен единице. Отсюда
\[
h=\sum_{\sigma_{i}>0} \sigma_{i} .
\]

Для автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы положительным может быть только $\sigma_{1}$, откуда
\[
h=\sigma_{1} \text {. }
\]

При другой интерпретации [19] соотношение (5.2.24) относится ко всей (компактной) области фазового пространства. В этом случае для системы с двумя степенями свободы $h$ определяет скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий, усредненную по всей выбранной области фазового пространства. На регулярных компонентах движения $\sigma_{1}=0$. Положим для простоты, что на всех стохастических компонентах $\sigma_{1}$ одинаково и равно $\bar{\sigma}_{1}$. Тогда из (5.2.24) получаем
\[
h=\mu_{s} \bar{\sigma}_{1},
\]

где $\mu_{s}$ – суммарная мера стохастических компонент. В § 5.3 мы увидим, как использовать эти соотношения для численного определения КС-энтропии, а также в качестве критерия стохастичности.
1) Если не только $h>0$, но и $h_{A}>0$ для любого конечного разбиения $\left\{A_{i}(0)\right\}$, то движение обладает К-свойством [378], которое оказывается, таким образом, более сильным, чем положительность КС-энтропии. Грубо говоря, К-система характеризуется однородностью процесса перемешивания.-Прим. ред.

Следует, однако, отметить, что, вообще говоря, разные стохастические компоненты имеют различные значения $\sigma_{1}$. Поэтому, применяя соотношение (5.2.24) к целой области фазового пространства, надо брать правильное среднее значение $\sigma_{1}$.
Системы Аносова ${ }^{1}$ ). Эти системы введены и изучались Аносовым $[8,9]$. Они характеризуются линейным касательным пространством, которое разлагается на три компоненты:
1) составляющая вдоль траектории с нулевым показателем Ляпунова;
2) поперечное пространство, в котором траектории расходятся экспоненциально со скоростью, ограниченной снизу равномерно по начальным условиям и времени;
3) поперечное пространство, в котором траектории сближаются экспоненциально со скоростью, ограниченной сверху, и тоже равномерно по начальным условиям ${ }^{2}$ ) и времени.
Это очень сильные условия, и гамильтоновы системы, близкие к интегрируемым, никогда им не удовлетворяют. Системы Аносова структурно устойчивы [8], т. е. при действии малого возмущения

Рис. 5.3. Отображение Арнольда на тоpe (по данным работы [14]).
Область *кот» $A$ трансформируется в $T A$ и затем в $T^{2} A$. они остаются системами Аносова.
Рассмотрим свойства этих
1) В оригинале C-systems, т. е. (У-системы. Это менее распространенный сейчас термин, который ввел Аносов – автор этих систем. Буква У происходит от слова условия, которым должны удовлетворять эти системы; они перечислены ниже в тексте.- Прим. перев.
2) Имеются в виду начальные условия как в касательном, так и в основном фазовом пространстве. В приведенном виде условия относятся только к обратимым во времени системам, подробнее см. $[8,9,14] .-$ Прим. ред.

систем на простом, хотя и нефизическом примере, который часто используется математиками. Следуя Арнольду, возьмем отображение $T$ на торе вида
\[
\left(\begin{array}{l}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array}\right), \bmod 1 .
\]

Отображение $T$ совпадает со своим касательным отображением $\mathrm{A}$, причем $\operatorname{det} \mathbf{A}=1$, т. е. оба отображения сохраняют площадь. На рис. 5.3, взятом из [14], показано преобразование тора вместе с изображением знаменитого арнольдовского кота. Ясно видно расслоение фазового пространства и перемешивание. Используя результаты п. 3.3в, найдем собственные значения и векторы этого отображения. Из характеристического уравнения
\[
\left|\begin{array}{cc}
1-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda
\end{array}\right|=0
\]

получаем собственные значения
\[
\lambda_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2},
\]

а из уравнения (3.3.7) – собственные векторы
\[
\begin{array}{c}
\zeta_{1}=\left(\frac{2}{5-\sqrt{5}}\right)^{1 / 2}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2} \check{x}+\check{y}\right), \\
\xi_{2}=\left(\frac{2}{5+\sqrt{5}}\right)^{\prime}=\left(-\frac{\sqrt{5}+1}{2} \dot{\boldsymbol{x}}+\check{y}\right) .
\end{array}
\]

Растяжение происходит вдоль направления $\zeta_{1}$, а сжатие – вдоль ортогонального направления $\xi_{2}$. При этом, конечно, $\lambda_{1}=1 / \lambda_{2}$, что следует просто из сохранения площади. Чтобы подчеркнуть экспоненциальный характер растяжения, можно записать собственные значения в виде
\[
\lambda_{1,2}=e^{ \pm \sigma},
\]

где $\sigma=\ln [(3+\sqrt{5}) / 2]$ одинакова для всех начальных условий. Поэтому показатель Ляпунова $\sigma_{1}(\boldsymbol{x})=\sigma>0$ и не зависит от $\boldsymbol{x}$. Следовательно, отображение (5.2.28) является системой Аносова, а значит [378], и К-системой. Его энтропия
\[
h=\sigma_{1}=\ln [(3+\sqrt{5}) / 2] .
\]

Сдвиги Бернулли. В качестве заключительного примера расслотрим системы, называемые бернуллиевскими. Пусть фазовое пространство разбито на $M$ ячеек, каждая из которых помечена своим символом $a_{i}$ и характеризуется вероятностью $p_{i}$ попадания в ніее траектории движения. Предположим, что состояние системы меняется каждую секунду. Тогда динамическое движение описывается некоторой последовательностью символов ${ }^{1}$ ). Рассмотрим теперь такое отображение, которое сдвигает любую последовательность на один элемент влево. Например, подбрасывая монету, мы получаем последовательность вида ${ }^{2}$ )
\[
\begin{array}{lllllllll}
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & \ldots,
\end{array}
\]

где символы 0 и 1 соответствуют двум сторонам монеты. Для сдвига Бернулли с числом символов $M$ значение энтропии последовательности длины $n$ дается стандартным выражением ${ }^{3}$ )
\[
H_{T}=-n \sum_{i=1}^{M} p_{i} \ln p_{i}
\]

Максимум энтропии достигается для разбиения с $p_{i}=1 / M$ и равен
\[
H_{T}=n \ln M .
\]

Сдвиг Бернулли можно задать простым отображением:
\[
x_{n+1}=M x_{n}, \bmod 1 .
\]

При этом каждая итерация дает новый член последовательности Бернулли. КС-энтропия этого отображения легко вычисляется и равна $h=\ln M$, а $H_{T}=h n$. Таким образом, КС-энтропия определяет скорость роста $H_{T}$ со «временем» $n$. При $n \rightarrow \infty$ энтропия $H_{\tau}$ неограниченно возрастает.

Общая картина взаимосвязи между различными свойствами случайного движения представлєна на рис. 5.4. Стрелки между прямоугольниками указывают направление импликации. Так, например, К-системы обладают свойствами перемешивания и эргодичности ${ }^{4}$ ). Наиболее сильные статистические свойства динамической
1) Это – так называемая символическая траектория.- Прим. ред.
2) Это не очень удачный пример, поскольку подбрасывание монеты не является чисто динамическим процессом. Пример сдвига Бернулли в динамической системе см. ниже в тексте и (5.2.32).- Прим. ред.
${ }^{3}$ ) Это выражение заимствовано из теории вероятностей и справедливо при условии, что попадания траектории в различные ячейки статистически независимы. Динамическая система называется бернуллиевской, или сдвигом Бернулли, если она обеспечивает выполнение этого условия для некоторого определенного разбиения (фазового пространства), которое тоже называется бернуллиевским. Хотя это свойство кажется на первый взгляд очень сильным (максимальным?), на самом деле это не совсем так из-за сингулярности бернуллиевских разбиений в большинстве случаев (см. [497]).- Прим. ред.
4) В дополнение к связям на рис. 5.4 отметим, что система Аносова является также и бернуллиевской, точнее – всякий перемешивающий поток Аносова с гладкой инвариантной мерой является бернуллиевским [498, 499].- Прим. ред.

случайности ${ }^{1}$ ) расположены в верхней части рисунка, а наиболее слабые – внизу. Основная характеристика каждого свойства приведена справа, а примеры соответствующих систем-слева.

Системы, близкие к интегрируемым, такие, как модели ХенонаХейлеса или ускорения Ферми, для которых характерно наличие

Рис. 5.4. Взаимосвязь между различньми статистическими свойствами случайного движения.

областей как регулярного, так и стохастического движения, не обладают в полной мере ни одним из свойств, перечисленных
1) Согласно современной алгоритмической теории динамических систем [448], которая кратко обсуждается ниже в п. 5.2г, свойство случайности лежит как бы в другой плоскости. Формально алгоритмическая случайность эквивалентна положительности $\mathrm{KC}$-энтропии ( $h>0$ ), т. е. это свойство слабее $\mathrm{K}$-свойства (см. прим. ред. на с. 301), Однако оно обладает иным качеством: полностью исключает возможность динамического описания системы ввиду принципиальной непредсказуемости отдельных траекторий.- Прим. ред.

на рис. 5.4. Однако вблизи гомоклинных точек движение локально эквивалентно преобразованию пекаря, что приводит к случайному поведению типа сдвига Бернулли. Кроме того, как мы увидим в $\$ 5.3$, результаты численного моделирования убедительно показывают, что стохастические компоненты в таких системах (например, стохастический слой) имеют положительную КС-энтропию, а следовательно, и определенные статистические свойства.