Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Перемешивание. Понятие перемешивания является по существу эчень простым. Возьмем сосуд, содержащий, например, $20 \%$ рсма и $30 \%$ пепси-колы, причем вначале распределение рома в сосуде произвольно, скажем, сплошной слой. Если теперь начать разменивать жидкость, то естественно ожидать, что после достаточно цлительного размешивания любой сколь угодно малый объем жидцости будет содержать «приблизительно» $20 \%$ рома. Формализация подобного процесса і приводит к понятию перемешибания. Перемешивание подразумевает некоторое «огрубление» фазового пространства, т. е. исследование его малых, но конечных областей ${ }^{1}$ ). Можно показать [14 ], что перемешивание влечет за собой эргодичность. Однако обратное неверно: из эргодичности не следует перемешивание. Это сразу видно на примере отображения на торе (5.2.4), как показано на рис. 5.1, в. Разделим траектории на две группы — «серые» и «темные». Ясно, что в процессе движения они будут сохранять свое относительное расположение даже при иррациональном $\alpha$, когда каждая траектория покрывает весь тор. Это и означает отсутствие перемешивания. При $t \rightarrow \infty$ система с перемешиванием приближается к равновесному состоянию: $f(\boldsymbol{x}) \rightarrow\langle f\rangle$. Покажем это на примере «отображения пекаря» которое качественно обсуждалось в § 1.4. Следуя Форду [133] и Берри [26], покажем, что «огрубленная» функция распределения приближается к равновесной функции (константе). Из (5.2.21) получаем отображение для $f$ : Так как $f$ быстро расслаивается по $y$, то для огрубления $f_{n}$ проведем усреднение по этой переменной: Қак мы увидим в § 5.4, это эквивалентно интегрированию по быстроосциллирующей фазе. Проведн усреднение для (5.2.22), получим \[ Таким образом, отображение для огрубленной функции $g$ сводится к усреднению $g$ по двум половинам фазового квадрата. Это приводит в конце концов к однородной по $x$ функции $g$, как и должно быть при перемешивании ${ }^{1}$ ). Интуитивно ясно, что рассматривавшиеся в предыдущих параграфах стохастические системы являются перемешивающимися (в пределах стохастической компоненты движения). Однако это очень трудно строго доказать в конкретных случаях. Синаю [377] удалось сделать это для системы твердых шариков (см. п. 1.4а). Доказательство основано на рассеянии пучка траекторий при столкновении шариков (см. рис. $1.15, a$ ). Хотя этот частный результат и не доказывает наше предположение о перемешивании для типичной системы, близкой к интегрируемой, однако он оправдывает подобные эмпирические обобщения, получаемые методом численного моделирования. и т. д. Можно показать, что для того чтобы мера элемента $B$ (-t) экспоненциально уменьшалась при $t \rightarrow \infty$, должно выполняться условие где $R_{t}$ — число элементов $B(-t)$, а $\mu\left[B_{i}(-t)\right]$ — мера элемента $B_{i}$. Величина $h_{A}$ имеет смысл средней скорости экспоненциального уменьшения $\mu\left(B_{i}\right)$. Тогда КС-энтропия $h$ есть максимум (верхняя грань) $h_{A}$ по всем измеримым начальным разбиениям фазового пространства ${ }^{1}$ ). Так как КС-энтропия положительна только в случае экспоненциального уменьшения средней меры элемента $B$ (назад по времени), то неудивительно, что она связана со средней скоростью экспоненциальной расходимости близких траекторий (вперед по времени), т. е. с показателями Ляпунова. Явное выражение для этой связи было получено Песиным [335], и его можно записать в виде Здесь суммирование производится по всем положительным показателям Ляпунова, а интеграл берется по некоторой инвариантной области фазового пространства. Вообще говоря, КС-энтропия понимается как некоторая характеристика одной стохастической компоненты движения. В этом случае значения $\sigma_{i}$ не зависят от $\boldsymbol{x}$ и интеграл по $\mathscr{M}$ равен единице. Отсюда Для автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы положительным может быть только $\sigma_{1}$, откуда При другой интерпретации [19] соотношение (5.2.24) относится ко всей (компактной) области фазового пространства. В этом случае для системы с двумя степенями свободы $h$ определяет скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий, усредненную по всей выбранной области фазового пространства. На регулярных компонентах движения $\sigma_{1}=0$. Положим для простоты, что на всех стохастических компонентах $\sigma_{1}$ одинаково и равно $\bar{\sigma}_{1}$. Тогда из (5.2.24) получаем где $\mu_{s}$ — суммарная мера стохастических компонент. В § 5.3 мы увидим, как использовать эти соотношения для численного определения КС-энтропии, а также в качестве критерия стохастичности. Следует, однако, отметить, что, вообще говоря, разные стохастические компоненты имеют различные значения $\sigma_{1}$. Поэтому, применяя соотношение (5.2.24) к целой области фазового пространства, надо брать правильное среднее значение $\sigma_{1}$. Рис. 5.3. Отображение Арнольда на тоpe (по данным работы [14]). систем на простом, хотя и нефизическом примере, который часто используется математиками. Следуя Арнольду, возьмем отображение $T$ на торе вида Отображение $T$ совпадает со своим касательным отображением $\mathrm{A}$, причем $\operatorname{det} \mathbf{A}=1$, т. е. оба отображения сохраняют площадь. На рис. 5.3, взятом из [14], показано преобразование тора вместе с изображением знаменитого арнольдовского кота. Ясно видно расслоение фазового пространства и перемешивание. Используя результаты п. 3.3в, найдем собственные значения и векторы этого отображения. Из характеристического уравнения получаем собственные значения а из уравнения (3.3.7) — собственные векторы Растяжение происходит вдоль направления $\zeta_{1}$, а сжатие — вдоль ортогонального направления $\xi_{2}$. При этом, конечно, $\lambda_{1}=1 / \lambda_{2}$, что следует просто из сохранения площади. Чтобы подчеркнуть экспоненциальный характер растяжения, можно записать собственные значения в виде где $\sigma=\ln [(3+\sqrt{5}) / 2]$ одинакова для всех начальных условий. Поэтому показатель Ляпунова $\sigma_{1}(\boldsymbol{x})=\sigma>0$ и не зависит от $\boldsymbol{x}$. Следовательно, отображение (5.2.28) является системой Аносова, а значит [378], и К-системой. Его энтропия Сдвиги Бернулли. В качестве заключительного примера расслотрим системы, называемые бернуллиевскими. Пусть фазовое пространство разбито на $M$ ячеек, каждая из которых помечена своим символом $a_{i}$ и характеризуется вероятностью $p_{i}$ попадания в ніее траектории движения. Предположим, что состояние системы меняется каждую секунду. Тогда динамическое движение описывается некоторой последовательностью символов ${ }^{1}$ ). Рассмотрим теперь такое отображение, которое сдвигает любую последовательность на один элемент влево. Например, подбрасывая монету, мы получаем последовательность вида ${ }^{2}$ ) где символы 0 и 1 соответствуют двум сторонам монеты. Для сдвига Бернулли с числом символов $M$ значение энтропии последовательности длины $n$ дается стандартным выражением ${ }^{3}$ ) Максимум энтропии достигается для разбиения с $p_{i}=1 / M$ и равен Сдвиг Бернулли можно задать простым отображением: При этом каждая итерация дает новый член последовательности Бернулли. КС-энтропия этого отображения легко вычисляется и равна $h=\ln M$, а $H_{T}=h n$. Таким образом, КС-энтропия определяет скорость роста $H_{T}$ со «временем» $n$. При $n \rightarrow \infty$ энтропия $H_{\tau}$ неограниченно возрастает. Общая картина взаимосвязи между различными свойствами случайного движения представлєна на рис. 5.4. Стрелки между прямоугольниками указывают направление импликации. Так, например, К-системы обладают свойствами перемешивания и эргодичности ${ }^{4}$ ). Наиболее сильные статистические свойства динамической случайности ${ }^{1}$ ) расположены в верхней части рисунка, а наиболее слабые — внизу. Основная характеристика каждого свойства приведена справа, а примеры соответствующих систем-слева. Системы, близкие к интегрируемым, такие, как модели ХенонаХейлеса или ускорения Ферми, для которых характерно наличие Рис. 5.4. Взаимосвязь между различньми статистическими свойствами случайного движения. областей как регулярного, так и стохастического движения, не обладают в полной мере ни одним из свойств, перечисленных на рис. 5.4. Однако вблизи гомоклинных точек движение локально эквивалентно преобразованию пекаря, что приводит к случайному поведению типа сдвига Бернулли. Кроме того, как мы увидим в $\$ 5.3$, результаты численного моделирования убедительно показывают, что стохастические компоненты в таких системах (например, стохастический слой) имеют положительную КС-энтропию, а следовательно, и определенные статистические свойства.
|
1 |
Оглавление
|