В гл. 3 мы видели, что в системах с двумя степенями свободы, близких к интегрируемым, вблизи сепаратрис резонансов возникают области хаотического движения. Эти области сохраняются для любого ненулевого возмущения $\varepsilon$, хотя их площадь и стремится к нулю при $\varepsilon \rightarrow 0$. Следовательно, не существует резкого «перехода к стохастичности» для какого-то критического значения $\varepsilon$, и поэтому смысл любого такого критерия должен быть определен более четко.

Одно из возможных определений состоит в измерении доли фазового пространства с хаотическим движением и в последующем нахождении минимального значения $\varepsilon$, для которого эта доля достигает некоторого произвольно выбранного значения, скажем $1 / 10$ или $1 / 2$. Наличие подобной неопределенности приводит к тому, что такой подход является в каком-то смысле качественным. Несмотря на это, он может в значительной степени способствовать пониманию явления стохастичности. Для определения критерия перехода к стохастичности использовались различные методы:
1) мгновенная скорость расходимости близких траекторий $[409,44]$
2) убывание корреляций [302, 401$]$;
3) обмен энергией между степенями свободы [148];
4) фурье-спектр траекторий [318];
5) показатели Ляпунова [19];
6) КС-энтропия [70].
Первые три метода критиковались в литературе (см., например, $[55,59,60])$ как неспособные правильно различать регулярное и стохастическое движение ${ }^{1}$ ). С другой стороны, последние три метода, как выяснилось, имеют большое значение и для анализа движения внутри хаотических областей, чему посвящена гл. 5 .
1) Хотя упомянутая выше критика и имеет некоторые основания, следует отметить, что эти методы успешно использовались в ряде работ, например в [443] (первый метод) и в [127] (третий метод). Второй метод (при правильном его применении) эквивалентен четвертому и особенно удобен в реальных экспериментах, тогда как два последних метода больше подходят для численного моделирования. Отметим также, что ссылки авторов при перечислении методов носят случайный характер, более аккуратная библиография дана ниже, при описании некоторых из этих методов.- Прим. ред.

Более естественное определение «перехода к стохастичности» вытекает из следующего наблюдения, характерного для различных систем с двумя степенями свободы: в фазовом пространстве существует резкая граница между областями с узкими стохастиче-

Рис. 4.1. Переход от локальной к глобальной стохастичности с ростом возмущения ( $\left.1 / u^{2}\right)$.

скими компонентами движения, запертыми инвариантными поверхностями, и областями сплошного стохастического движения. В первом случае изменение переменных действия ограничено шириңой сепаратрисы резонансов (см. рис. 4.1) и $\Delta J / J \propto \sqrt{\varepsilon}$ (п. 2.4а). Во втором случае $J$ изменяется хаотически в широких пределах, так что $\Delta J / J \sim 1$. Ясно, что количественное определение перехода от одного случая к другому дает важную информацию относительно поведения системы. Будем называть эти две области соответственно локальной (или изолированной, или слабой) и глобальной (или связанной, или сильной) стохастической областью, а сам переход границей стохастичности, или переходом к глобальной стохастичности. Именно такой переход и рассматривается детально в этой главе.

Қак мы уже видели в задаче об ускорении Ферми (§ 3.4), граница стохастичности ${ }^{1}$ ) $u_{b}$ отделяет сплошную стохастическую компоненту при малых скоростях частицы от области со стохастическими слоями вблизи сепаратрис резонансов при больших скоростях (см. рис. 4.1, 1.14, и 3.15). Эта граница отличается от границы устойчивости $u_{s}$, ниже которой все неподвижные точки соответствующего отображения неустойчивы. Оказывается, что $u_{b}>u_{s}$, откуда следует, что неустойчивость неподвижных точек достаточна, но не необходима для глобальной стохастичности, т. е. это условие является слишком сильным. Мы же ищем более эффективный критерий, которой был бы и необходимым, и достаточным. K сожалению, чисто аналитического метода получения такого критерия не существует. Поэтому приходится прибегать к различным правдоподобным рассуждениям, подкрепленным численными экспериментами. В этой главе мы рассмотрим пять методов, описанных качественно в п. 4.1а, каждый из которых дает свой вклад в понимание рассматриваемой проблемы. В качестве модели для иллюстрации этих методов мы используем стандартное отображение, свойства которого обсуждаются в п. 4.1б.