С целью иллюстрации общего метода и резонансных эффектов вычислим адиабатический инварианг первого порядка для медленно изменяющегося линейного осциллятора
\[
H_{l}=\frac{1}{2} G(\tau) p^{2}+\frac{1}{2} F(\tau) q^{2},
\]

где малый параметр введен посредством переменной $\tau=\varepsilon t$. Вначале перейдем к переменным действие – угол $J, \theta$ для невозмущенного гамильтониана $H_{l_{0}}=H_{l}(\varepsilon=0)$ с помощью производящей функции
\[
F_{1}(q, \theta, \tau)=\frac{1}{2} R q^{2} \operatorname{ctg} \theta,
\]

где $R(\tau)=(F / G)^{1 / 2}$. Из (1.2.11) получаем уравнения преобразований (1.2.68) и новый гамильтониан
\[
H=\omega_{0} J+\varepsilon \frac{1}{2} \frac{R^{\prime}}{R} J \sin 2 \theta .
\]

Здесь $\omega_{0}(\tau)=(F G)^{1 / 2}$, а штрих означает дифференцирование по $\tau$. Наша система приведена теперь к виду (2.3.6) и допускает применение метода Пуанкаре-Цейпеля.В нулевом порядке адиабатическим инвариантом является
\[
J=\frac{H_{0}}{\omega_{0}}=\text { const, }
\]
т. е. число квантов $\hbar \omega_{0}$ сохраняется при медленном изменении частоты осциллятора [114]. Для определения инварианта первого порядка применим выражение (2.3.20) к гамильтониану (2.3.25), что сразу даст
\[
\bar{J}=J(1+\varepsilon P \sin 2 \theta)=\text { const, }
\]

где $P(\varepsilon t)=R^{\prime} / 2 \omega_{0} R$. Видно, что в первом порядке величина $J$ испытывает небольшие колебания с частотой, в 2 раза превышающей частоту осциллятора. Постоянство $\bar{J}$ можно проверить, взяв производную по времени (обозначена точкой) от (2.3.27),
\[
\dot{\bar{J}}=\dot{J}+\varepsilon \dot{P} J \sin 2 \theta+2 \varepsilon \omega_{0} J P \cos 2 \theta+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

В силу канонических уравнений для гамильтониана (2.3.25) первый и третий члены сокращаются и в первом порядке по $\varepsilon$ остается
\[
\dot{\bar{J}}=\varepsilon \dot{P} J \sin 2 \theta .
\]

Если медленное возмущение имеет обычный порядок малости, т. е. $\dot{P} \sim \varepsilon P$, то $\dot{\bar{J}} \sim \varepsilon^{2}$ и, следовательно, $\bar{J}$ является инвариантом первого порядка.
Прохождение через резонанс. Рассмотрим теперь изменение адиабатического инварианта, обусловленное резонансами между колебаниями осциллятора и медленными периодическими изменениями его параметров. Разложим $\dot{P}$ в ряд Фурье
\[
\dot{P}=\varepsilon \sum_{n
eq 0} a_{n} e^{i n \omega_{1} \varepsilon t},
\]

здесь $\varepsilon \omega_{1}$ – частота медленных изменений, причем отношение

$\omega_{1} / \omega_{0}$ порядка единицы. Подставляя выражение для $\dot{P}$ в формулу 2.3.29), получаем
\[
\dot{\bar{J}}=\frac{\varepsilon^{2}}{2 i} \bar{J} \sum_{n
eq 0} a_{n}\left[e^{i\left(n \hat{\omega}_{1} \varepsilon t+2 \theta\right)}-e^{i\left(n \omega_{1} \varepsilon t-2 \theta\right)}\right],
\]

где мы заменили $J$ на $\bar{J}$ с точностью до величин первого порядка по $\varepsilon$. Интегрирование (2.3.31) по периоду медленных колебаний дает $\Delta \bar{J} / \bar{J} \sim \varepsilon^{2}$, если частоты $\varepsilon \omega_{1}$ и $\omega_{0}$ несоизмеримы. В противном случае, т. е. при
\[
\frac{\omega_{0}}{\varepsilon \omega_{1}}=\frac{s}{2},
\]

где $s$ – целое число порядка $\varepsilon^{-1}$, члены суммы с $n= \pm s$ не зависят от времени и интеграл по периоду медленных колебаний дает
\[
\frac{\bar{\Delta} \bar{J}}{\bar{J}} \sim \varepsilon^{2}\left|a_{s}\right| \cdot \frac{2 \pi \varepsilon^{-1}}{\omega_{1}} \sim \varepsilon .
\]

Таким образом, если резонанс поддерживается в течение времени $t_{p} \sim 2 \pi \varepsilon^{-1 / \omega_{1}}$, то инвариант первого порядка разрушается, что свидетельствует о сильном нарушении адиабатичности ${ }^{2}$ ). Это не означает, однако, что интеграл движения вообще не существует, просто он имеет другой вид. Действительно, в п. 1.36 мы видели, что линейный осциллятор (2.3.23) с периодически изменяющимися во времени коэффициентами является интегрируемой системой, откуда и следует существование некоторого интеграла движения. С другой стороны, для нелинейного осциллятора возможно как сохранение невозмущенного интеграла движения, так и его топологическое изменение или полное разрушение. Хотя нелинейный
1) Соотношение (2.3.31) справедливо только по порядку величины, так как уравнение (2.3.29) содержит еще одно слагаемое $\varepsilon P \dot{j} \sin 2 \theta=$ $=\varepsilon^{2} P^{2} J \omega_{0} \sin 4 \theta$ [см. (2.3.27)]. Для нижеследующих оценок это, однако, несущественно. – Прим. ред.
2) Связь рассмотренной задачи с прохождением резонанса требует пояснения. Пусть, например, $P(\tau)=P_{0} \cos \left(\Omega_{0} t+\frac{\lambda}{\omega_{1}} \sin \left(\tau \omega_{1}\right)\right)$ – частотномодулированное возмущение с частотой $\Omega(\tau)=\Omega_{0}+\lambda \cos \left(\tau \omega_{1}\right)$. Резонанс проходится, если при некотором $\tau=\tau_{p}$ частота $\Omega\left(\tau_{p}\right)=\omega_{0}$. В этом случае амплитуда $\left|a_{s}\right| \sim \varepsilon^{-1 / 2}$ и $\Delta J / J \sim \sqrt{\varepsilon}$, что уточняет оценку (2.3.33). Вряд ли можно говорить о сильном нарушении адиабатичности [на интервале времени $\sim\left(\varepsilon \omega_{1}\right)^{-1}$ ], так как $\Delta J \ll J$. Однако даже первая поправка к $J$ (2.3.27) уже теряет смысл. Если же резонанс не проходится, т. е. $\Omega(\tau)
eq \omega_{0}$ для любого $\tau$, то амплитуда $a_{\mathrm{s}}$ экспоненциально мала и адиабатичность имеет место в полной мере. Различные режимы прохождения резонанса, в том числе и для нелинейного осциллятора, исследованы, например, в работах $[466,68,467]$. Прим. ред.

осциллятор представляет бо́льший интерес, мы ограничились здесь линейной системой в целях иллюстрации методов построения разложений.