Проиллюстрируем использование степенных рядов на примере интегрируемого слабо нелинейного осциллятора с одной степенью свободы. Это может быть показанный на рис. 2.1, а маятник, колеблющийся с небольшой амплитудой и описываемый гамильтонианом (1.3.6). Разлагая первое из уравнений (1.3.5) до третьего порядка по $\varphi$, запишем дифференциальное уравнение движения в виде
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=\frac{1}{6} \varepsilon \omega_{0}^{2} x^{3},
\]

где $x=\varphi$ – угол отклонения от вертикали, $\omega_{0}=(F G)^{1,2}-$ частота малых колебаний, $\varepsilon$ – малый безразмерный параметр, введенный в кубический член, чтобы явно выделить его как возмущение; в конце вычислений мы положим $\varepsilon=1^{1}$ ).
Если представить $x$ в виде ряда
\[
x=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon^{2} x_{2}+\ldots .
\]
1) Это справедливо, конечно, только при условии, что в системе остается другой (неявный) малый параметр, например амплитуда колебаний в рассматриваемом случае.- Прим. ред.

и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, то в нулевом порядке получим уравнение гармонического осциллятора
\[
x_{0}=A \cos \omega_{0} t .
\]

Уравнение движения в первом порядке по $\varepsilon$ имеет вид
\[
\ddot{x_{1}}+\omega_{0}^{2} x_{1}=\frac{1}{6} \omega_{0}^{2} A^{3} \cos ^{3} \omega_{0} t .
\]

Представляя $\cos ^{3} \omega_{0} t$ в этом уравнении в виде суммы двух членов
\[
\cos ^{3} \omega_{0} t=\frac{1}{4}\left(\cos 3 \omega_{0} t-3 \cos \omega_{0} t\right),
\]

Рис. 2.1. Нелинейные колебания.
$a$ – маятник; 6 – адиабатическое возмущение; $\varepsilon$ – пример резонанса.

находим, что первый из них дает «хорошее» частное решение
\[
x_{1 a}=-\frac{A^{3}}{192} \cos 3 \omega_{0} t,
\]

в то время как второй оказывается резонансным и ему отвечает частное решение
\[
x_{1 b}=\frac{A^{3}}{16}\left(\omega_{0} t \sin \omega_{0} t+2 \cos \omega_{0} t\right) .
\]

Видно, что первое слагаемое растет линейно со временем – это и есть секулярный член. В рассматриваемом случае секулярность возникает вследствие выбора неподходящего разложения, при котором не принимается во внимание зависимость частоты колебаний от их амплитуды.

Корректный подход, разработанный Линдштедтом [278], состоит в одновременном разложении по степеням $\varepsilon$ как амплитуды, так и частоты колебаний. Предположим, что $x=x(\omega t)$ является периодической функцией $\omega t$ с периодом $2 \pi$, и разложим $x$ и $\omega$ по степеням $\varepsilon$, так что наряду с (2.1.2) имеем
\[
\omega=\omega_{0}+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}-+ \text {. . . }
\]

Подстановка этих разложений в уравнение (2.1.1) дает
\[
\begin{array}{c}
\left(\omega_{0}^{2}+2 \varepsilon \omega_{0} \omega_{1}+\ldots .\right)\left(x_{0}^{\prime \prime}+\varepsilon x_{1}^{\prime \prime}+\ldots .\right)+ \\
+\omega_{0}^{2}\left(x_{0}+\varepsilon x_{1}+\ldots .\right)-\frac{1}{6} \varepsilon \omega_{0}^{2}\left(x_{0}+\varepsilon x_{1}+\ldots . .\right)^{3}=0
\end{array}
\]

где штрихи означают производные по аргументу $\omega t$. В нулевом порядке имеем
\[
x_{0}^{\prime \prime}+x_{0}=0,
\]

и решение $x_{0}=A \cos \omega t$. Уравнєние первого порядка
\[
x_{1}^{\prime \prime}+2 \frac{\omega_{1}}{\omega_{0}} x_{0}^{\prime \prime}+x_{1}-\frac{1}{6} x_{0}^{3}=0^{\prime \prime}
\]

после подстановки в него выражения для $x_{0}$ приобретает вид
\[
x_{1}^{*}+x_{1}=2 \frac{\omega_{1}}{\omega_{0}} A \cos \omega t+\frac{1}{8} A^{3} \cos \omega t+\frac{1}{24} A^{3} \cos 3 \omega t .
\]

Условие периодичности $x(\omega t)$ требует, чтобы коэффициент при $\cos \omega t$ равнялся нулю, так как в противном случае возникают секулярные члены. Следовательно, мы выбираем величину $\omega_{1}$ так, чтобы исключить секулярность
\[
\omega_{1}=-\frac{1}{16} A^{2} \omega_{0},
\]

и получаем характерное для маятника уменьшение частоты колебаний с возрастанием амплитуды. При таком выборе $\omega_{1}$ решение уравнения (2.1.11) есть
\[
x_{1}=A_{1} \cos \omega t+B_{1} \sin \omega t-\frac{A^{3}}{192} \cos 3 \omega t .
\]

В частности, для начальных условий
\[
x_{1}(0)=\dot{x}_{1}(0)=0
\]

получаем выражение
\[
x_{1}=\frac{A^{3}}{192}(\cos \omega t-\cos 3 \omega t),
\]

которое описывает изменение $x(\omega t)$, вызванное нелинейностью. Рассмотренную процедуру можно выполнить и в более высоких порядках по $\varepsilon$. Основу метода составляет предположение о периодичности $x$ с частотой $\omega$, отличной от частоты малых колебаний $\omega_{0}$.

Дополнительная свобода, возникающая вследствие разложения $\omega$, позволяет исключать секулярность в каждом порядке по $\varepsilon$, чем и достигается равномерная сходимость решения. Каноническая форма метода Линдштедта, представленная в п. 2.2a, была разработана Пуанкаре [337] и Цейпелем [419].