Возможность неограниченного движения вдоль резонанса доказана Арнольдом [12] на примере гамильтониана
\[
H=\frac{1}{2}\left(I_{R}^{2}+I_{S}^{2}\right)+\varepsilon\left(\cos \theta_{R}-1\right)\left(1+\mu \sin \theta_{S}+\mu \cos t\right) .
\]

ГІри $\mu=0$ и $\varepsilon
eq 0$ существуют два интеграла движения:
\[
H_{R}=\frac{1}{2} I_{R}^{2}+\varepsilon \cos \theta_{R}=\text { const, }
\]

причем последний из них описывает резонанс. Возмущение $(\mu
eq 0)$ приводит к образованию стохастического слоя вокруг сепаратрисы этого резонанса. Так как возмущение изменяет как $I_{R}$, так и $I_{S}$, то возникает хаотическое движение вдоль стохастического слоя (по $I_{S}$ ). Роль третьей степени свободы играют здесь переменные $t$ и $-H$ (п. 1.2б).

Арнольд высказал предположение, что движение вдоль резонансов является типичным свойством многомерных нелинейных колебаний, однако строгое доказательство этого отсутствует ${ }^{1}$ ). Недавно Холмс и Марсден [197], используя метод Мельникова [299] (см. § 7.3 ниже), показали существование диффузии Арнольда у большого класса гамильтоновых систем, близких к интегрируемым.

Первые численные эксперименты по хаотическому движению в многомерных системах были выполнены Фрёшле и сотр. ${ }^{2}$ ). В частности, в работах Фрёщле $[139,140]$ исследовалось число изолируюцих интегралов движения в системах с тремя степенями свободы. Оказалось, что в зависимости от начальных условий существуют либо два интеграла, либо ни одного (кроме энергии). Этот результат находится в согласии с гипотезой Арнольда, что движение происходит либо по инвариантному тору, либо по стохастическим слоям. Это значит, что в общем случае $N$ \»степеней свободы имеется либо $N-1$, либо ни одғого интеграла движения, кроме энергии. Аналогичные соображения высказывались Фрёшле [139] и были подтверждены численными экспериментами [141-143] діл $N=3$ и $N=4$.

Модельная задача. Рассмотрим трехмерные колебания шарика между двумя упругоотражающими неподвижными стенками, одна из которых плоская $(z=h)$, а другая ( $z \approx 0$ ) — гофрированная как по $x$, так и по $y$ (рис. $6.4, a$ ). Положение системы на четырехмерной поверхности сечения задается значениями координат $x_{n}$ и $y_{n}$ и углов $\alpha_{n}=\operatorname{arctg}\left(v_{x} / v_{z}\right)$ и $\beta_{n}=\operatorname{arctg}\left(v_{b} / v_{z}\right)$ непосредственно перед $n$-м отражением от гофрированной стенки, где $v-$ вектор скорости шарика (рис. 6.4, б). Считая гофрировку слабой ( $a \ll h, a k \ll 1$ ), можно записать упрощенное отображение (ср. II. 3.4a) в явном виде
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{n+1}=\alpha_{n}-2 a_{x} k_{x} \sin k_{x} x_{n}+\mu k_{x} \gamma_{c}, \\
x_{n+1}=x_{n}+2 h \operatorname{tg} \alpha_{n+1},
\end{array}
\]
1) Основная трудность здесь — получение достаточно эффективных аналитических критериев неинтегрируемости, поскольку в полностью интегрируемой системе диффузия Арнольда, конечно, отсутствует (см. примечание редактора на с. 315). Одним из возможных критериев является пересечение сепаратрис, которое было открыто и использовалось еще Пуанкаре [337, 11. 226] и интенсивно изучается в последнее время (см., например, [197, $479,480,483,484,511$ 1). Однако использование этого критерия ограничено is самом интересном (для диффузии Арнольда) случае очень слабого возмуцения (см. примечание редактора на с. 240). — Прим. ред.
2) Это, конечно, не так. Достаточно вспомнить знаменитую работу Ферми, Паста и Улама [127], в которой фактически наблюдалось и хаотическое движение (см. рис. 5-7), хотя основное внхмание авторов было привлечено к регулярным колебаниям в многомерной нелинейной системе. Хаотический аспект этой задачи исследовался позднее во многих работах (см., например, $[135,208])$.- Прим. ред.

\[
\begin{array}{l}
\beta_{n+1}=\beta_{n}-2 a_{y} k_{y} \sin k_{y} y_{n}+\mu k_{y} \gamma_{c}, \\
y_{n+1}=y_{n}+2 h \operatorname{tg} \beta_{n+1} .
\end{array}
\]

Здесь $\gamma_{c}=\sin \left(k_{x} x_{n}+k_{y} y_{n}\right), \quad a_{x}, \quad a_{y}$ — амплитуды гофрировки только по $x$ и только по $y$ соответственно, а $\mu$ — удвоенная амплитуда косой гофрировки, связывающей движение по $x$ и $y$.

Рис. 6.4. Модельная задача (по данным работы [406]).
a — колебания шарика между гладкой и гсфрированной стенками; 6 — проекция движения на плоскость $(x, z)$.

Если $\mu=0$, то отображение (6.1.12) описывает независимое движение в плоскостях $(x, z)$ и $(y, z)$. На рис. 6.5 показаны различные траектории на поверхности сечения ( $\alpha, \theta$ ). Мы видим обычную картину дія систем с двумя степенями свободы: резонансные и нерезонансные инвариантные кривые и стохастические области. Центр целого резонанса при $\alpha=\theta=0$ соответствует устойчивым колебаниям шарика вдоль оси $z$ в одном из минимумов «потенциальной ямы» стенки. Инвариантные кривые вокруг этого центра соответствуют «адиабатическим» колебаниям вдоль оси $x$, медленным по сравнению с котебаниями по $z$. Имеются две основные стохастичекие области. Толстый стохастический слой расположен в районе $\alpha \approx \pm \pi / 2$. Он возникает вследствие перекрытия целых резонансов, при которых за один период колебаний по $z$ траектория проходит несколько периодов гофрировки по $x$, как показано на рис. 6.5. Тонкий стохастический слой, отделенный при данных значениях параметров от толстого слоя инвариантными кривыми, расположен в окрестности сепаратрисы целого резонанса $\alpha=0$. Движение
$\mu=0 ; \theta=k_{x} x ;$ отноление $\lambda: h: a_{x}$ ) модели (6.1.12) (по данным работы [406]). по $10^{\text {s }}$ нтераций.

в нем происходит вблизи максимума потенциатьной ямы гофрированной стенки и охватывает как колебания, так и пролет в соседние ямы.

Типичный пример диффузии Арнольда в присутствии связи показан на рис. 6.6. Четырехмерная поверхность сечения ( $\alpha, x$, $\beta, y)$ представлена здесь двумя проекциями $(\alpha, x)$ и ( $\beta, y)$, которые для удобства совмещены на рисунке. Начальные устовия выбраны внутри резонанса по $x$ и в пределах тонкого стохастического стоя по $y$. Численное моделирование показывает, что движение по $y$ остается внутри стохастического слоя, пока колебания по $x$ не достигнут своей сепаратрисы. Постедовательные стадии диффузии по $x$ под действием стохастических колебаний по $y$ показаны на рис. 6.6, б-с. Это и есть диффузия Арнольда, поскольку на поверхности сечения она идет вдоль стохастического стоя резонанса по $y$. При дальнейшем движении диффузня охватывает бо́тьшую часть п.тоскости $(\alpha, x)$. В частности, наблюдались переходы диффузии из одного стохастического слоя ( $y$-резонанса) в другой ( $x$-резонанса), а также в толстый слой. Эти эффекты показаны на рис. 6.7 в проекции $(\alpha, \beta)$ для $x \approx y \approx 0$. Траектория случайно блуждает по тонким и толстым слоям, проводя большую часть времени в пос.тедних.

Рис. 6.6. Диффузия в тонком слое (по данным работы [406]). н $h=0,004$; отнонения $\lambda_{x}: h: c_{x}$ и $\lambda_{y}: h: a_{y}$ равны $100: 10: 2$.

Это, однако, еце не все. Вспомним, что система резонансных поверхностей является всюду плотной в пространстве переменных действия. Рассмотрим, например, резонанс связи
\[
m_{1} \omega_{x}-m_{2} \omega_{y}=0,
\]

где ( ${ }_{x}, \omega_{y}$ — частоты колебаний, а $m_{1}, m_{2}$ — целые числа; на рис. 6.7 показан резонанс, соответствующий $m_{1}=-m_{2}$. Стохастический слой этого резонанса также является составной частью паутины Арнольда. Для начальных условий в этом слое и $x \approx y \approx 0$ быстрые колебания шарика по оси $z$ кажутся вначале устойчивыми. Однако это не так. После достаточно большого числа отражений мы можем обнаружить, что шарик движется почти вдоль стенок. В типичном случае диффузия идет вначале по резонансу связи,

Рис. 6.7. То же, что и на рис. 6.6 в прсекции на плоскость $(\alpha, \beta)$ (по данным работы [276]).
\[
x \approx y \approx 0 ; 5 \times 10^{7} \text { итераций. }
\]

затем по тонким стохастическим слоям и, наконец, по толстым слоям. При этом шарик лишь изредка будет возвращаться в окрестность начального положения вблизи $x=y=0$, поскольку подавляющая часть паутины Арнольда состоит из толстых стохастических слоев. Остальные же области вроде резонансов связи, где движение кажется регулярным, составляют пренебрежимо малую (но всюду плотную!) часть стохастичегкой паутины. Эта удивительная картина является характерной для диффузии Арнольда.