Разлагая правую часть последнего равенства в степенной ряд по $\varepsilon$ и используя (2.2.6), получаем
\[
\begin{array}{l}
H_{0}(J(\bar{J}, \bar{\theta}))=H_{0}(\bar{J})+\varepsilon \frac{\partial H_{0}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}+\ldots \\
\varepsilon H_{1}(J(\bar{J}, \bar{\theta}), \theta(\bar{J}, \bar{\theta}))=\varepsilon H_{1}(\bar{J}, \bar{\theta})+\ldots
\end{array}
\]

Подстановка этих выражений в (2.2.7) позволяет найти члены нового гамильтониана нулевого $\left(\bar{H}_{0}\right)$ и первого $\left(\bar{H}_{1}\right)$ порядков
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}_{0}=H_{0}(\bar{J}), \\
\bar{H}_{1}=\omega(\bar{J}) \frac{\partial S_{1}(\bar{J}, \bar{\theta})}{\partial \bar{\theta}}+H_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}) .
\end{array}
\]

Так как мы ищем новый гамильтониан, который зависит только от переменной действия $\bar{J}$, то необходимо путем выбора функции $S_{1}$ в $(2.2 .10)$ компенсировать зависящую от $\bar{\theta}$ часть $H_{1}$. Определим среднюю $\left\langle H_{1}\right\rangle$ и переменную $\left\{H_{1}\right\}$ части $H_{1}$ посредством выражений
\[
\begin{array}{c}
\left\langle H_{1}\right\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} H_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}) d \bar{\theta}, \\
\left\{H_{1}\right\}=H_{1}-\left\langle H_{1}\right\rangle .
\end{array}
\]

Из равенства (2.2.10) находим два соотношения
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}_{1}=\left\langle H_{1}\right\rangle, \\
\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}=-\left\{H_{1}\right\} .
\end{array}
\]

Объединяя (2.2.9) и (2.2.13), получаем преобразованный гамильтониан с точностью до членов первого порядка
\[
\bar{H}=H_{0}(\vec{J})+\varepsilon\left\langle H_{1}(J, \bar{\theta})\right\rangle
\]

с новой частотой $\bar{\omega}=\partial \bar{H} / \partial \bar{J}$. При этом предполагается, что уравнение (2.2.14) можно разрешить относительно функции $S_{1}$, с помощью которой исключается $\left\{H_{1}\right\}$. Видно, что новый гамильтониан в первом порядке получается путем усреднения старого гамильтониана по фазе.

Чтобы найти функцию $S_{1}$, представим $\left\{H_{1}\right\}$ и $S_{1}$ в виде рядов Фурье
\[
\begin{array}{l}
\left\{H_{1}\right\}=\sum_{n
eq 0} H_{1 n}(\bar{J}) e^{i n \bar{\theta}} \\
S_{1}=\sum_{n} S_{1^{n}}(\bar{J}) e^{i n \bar{\theta}} .
\end{array}
\]

И3 (2.2.14) немедленно следует, что $S_{10}=$ const ${ }_{1}^{1}$ ), а
\[
S_{1 n}=-\frac{H_{1 n}}{i n \omega}, \quad n
eq 0 .
\]

Если $\omega(\bar{J})
eq 0$, то ряд Фурье для $S_{1}$ сходится и позволяет выполнить преобразование переменных (2.2.6).

Разложения высших порядков. Иногда необходимо провести разложения до более высокого порядка по $\varepsilon$ либо из-за того, что поправки первого порядка равны нулю, либо из-за желания повысить точность вычислений. Процедуру Пуанкаре-Цейпеля можно выполнить в любом порядке по $\varepsilon$, но распутывание старых и новых пе ременных, ведущее от (2.2.5) к (2.2.8), требует утомительных алгебраических выкладок. Если полного обращения переменных не требуется, то вычисление нового гамильтониана, а следовательно, и возмущенной частоты колебаний становится относительно простым.

Подробное рассмотрение вычислений в высших порядках содержится в $\S 2.5$, где представлены современные методы с использованием преобразований Ли. Здесь мы ограничимся тем, что выпишем в явном виде соотношения, необходимые для определения нового гамильтониана с точностью до второго порядка по $\varepsilon$. Более детальное обсуждение рядов Пуанкаре–Цейпеля можно найти в работах Борна [34] и Джакалья [153].

Предположим, что в соотношении (2.2.1) только $H_{0}$ и $H_{1}$ отличны от нуля. Пусть $S$ и $\bar{H}$ представлены степенными рядами по $\varepsilon$ вида (2.2.3) и (2.2.4), тогда выражения (2.2.8a) и (2.2.8б) можно выписать явно
1) Функцию $S_{10}$ нельзя найти из (2.2.14), но можно просто положить $S_{10}=0$, не нарушая этого условия.- Прим. ред.

\[
\begin{array}{c}
H_{0}(J(\bar{J}, \theta))=H_{0}(\bar{J})+\sum_{m, n} \frac{1}{m !} \frac{\partial^{m} H_{0}}{\partial \bar{J}^{m}}\left(\varepsilon^{n} \frac{\partial S_{n}}{\partial \theta}\right)^{m}, \\
H_{1}(J(\bar{J}, \theta), \theta)=H_{1}(\bar{J}, \theta)+\sum_{m, n} \frac{1}{m !} \frac{\partial^{m} H_{1}}{\partial \bar{J}^{m}}\left(\varepsilon^{n} \frac{\partial S_{n}}{\partial \theta}\right)^{m} .
\end{array}
\]

Полагая $\bar{H}$ функцией только переменной действия $\bar{J}$ и приравнивая $\bar{H}=H$ с помощью выражения (2.2.18), получаем в нулевом и первом порядке по $\varepsilon$ соотношения (2.2.9) и (2.2.10) соответственно. Во втором порядке по $\varepsilon$ находим (без обращения $\theta$ ):
\[
\bar{H}_{2}=\frac{\partial H_{0}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{2}}{\partial \theta}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial \bar{J}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{\partial H_{1}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \theta} .
\]

Поскольку $\bar{H}_{2}$ является функцией только $\bar{J}$, то имеем
\[
\bar{H}_{2}=\left\langle\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial \bar{J}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{\partial H_{1}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}\right\rangle_{\theta},
\]

а периодическая по $\theta$ функция $S_{2}$ определяется из условия
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{2}}{\partial \theta}=-\left\{\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial \bar{J}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{\partial H_{1}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}\right\}_{\theta} ;
\]

скобки 〈> и ( \}, как и раньше, соответствуют усредненной и осциллирующей частям выражения. Частота колебаний вычисляется обычным образом как $\bar{\omega}=\partial \bar{H} / \overline{\partial J}$.

Маятник. Для иллюстрации описанного выше метода разложения рассмотрим нелинейные колебания маятника, гамильтониан которого имеет вид [см. (1.3.6)]:
\[
H_{p}=\frac{1}{2} G p^{2}-F \cos \varphi=E \text {. }
\]

В качестве невозмущенной системы $H_{0}$ выберем квадратичную часть гамильтониана, которая соответствует линейным колебаниям, а оставшиеся члены будем считать возмущением. Раскладывая $H_{p}$
в ряд Тейлора и опуская постоянную, получаем
\[
H_{p}=\frac{1}{2} G p^{2}+\frac{1}{2} F \varphi^{2}-\frac{\varepsilon}{4 !} F \varphi^{4}+\frac{\varepsilon^{2}}{6 !} F \varphi^{6}-. . .
\]

где первые два слагаемых представляют $H_{0 p}$. Малый параметр $\boldsymbol{\varepsilon}$ отмечает, как и раньше, порядок членов возмущения. Истинным параметром разложения является отношение энергии колебаний к энергии на сепаратрисе. Для применения методов теории возмущений удобно перейти предварительно с помощью (1.2.69) к переменным действие – угол невозмущенной системы $H_{0 p}$. Новый

Рис. 2.2. Зависимость частоты колебаний маятника $(2.2 .20)$ от энергии.
1 – точная формула (1.3.13); 2 – теория возмущений в первом порядке; 3 – теория возмущений во втором порядке (п. 2.56). гамильтониан $\quad H=E+F$ принимает вид
\[
\begin{array}{l}
H=\omega_{0} J-\frac{\varepsilon}{6} G J^{2} \sin ^{4} \theta+\ldots \\
+\frac{\varepsilon^{2}}{90} \frac{G^{2} J^{3}}{\omega_{0}} \sin ^{6} \theta-\ldots .
\end{array}
\]

где $\quad \omega_{0}=(F G)^{1 / 2}$ – частота невозмущенных колебаний. Преобразуя степени $\sin ^{*} \theta$, находим
\[
H_{0}=\omega_{0} J,
\]
\[
H_{1}=
\]
\[
H_{2}=\frac{G^{2} J^{3}}{2880 \omega_{0}}(10-15 \cos 2 \theta+6 \cos 4 \theta-\cos 6 \theta) .
\]

Применяя полученные выше результаты и усредняя (2.2.22б) по $\theta$, получаем, согласно (2.2.15), новый гамильтониан до первого порядка по $\varepsilon$
\[
\bar{H}=\omega_{0} \bar{J}-\frac{\varepsilon}{16} G \bar{J}^{2}
\]

и новую частоту колебаний
\[
\bar{\omega}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial \bar{J}}=\omega_{0}-\frac{\varepsilon}{8} G \bar{J} .
\]

Псследнее соотношение показываєт, что частота колебаний уменьшается с ростом их амплитуды; это согласуется с разложением (1.3.13) с точностью до первого порядка по $x$. Исключая $\bar{J}$ из (2.2.23) и (2.2.24), получаем зависимость $\bar{\omega}(\bar{H})$, которая изображена на

рис. 2.2 кривой 2 ; ее можно сопоставить с точным результатом (1.3.13), представленным на рис. 2.2 кривой 1 .

Производяшую функцию $S_{1}$ можно найти путем интегрирования уравнения (2.2.14):
\[
S_{1}=-\frac{G J^{2}}{192 \omega_{0}}(8 \sin 2 \theta-\sin 4 \theta) .
\]

Используя это выражение, нетрудно получить преобразование (2.2.6) от старых переменных к новым.