Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, близкую к интегрируемой, В окрестности резонанса гамильтониан такой системы можно привести к стандартному виду
\[
H=H_{0}(J)+\frac{1}{2} G p^{2}-\varepsilon F \cos \varphi,
\]

используя резонансную теорию возмущений и производя усреднение по быстрым фазам (см. § 2.4). Здесь медленное движение описывается интегрируемой системой уравнений маятника (см. п. 1.3а), а быстрое движение описывается уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{J}=\text { const }, \\
\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\omega}_{0}(\boldsymbol{J}) t+\boldsymbol{\theta}_{0} .
\end{array}
\]

Мы знаем, что такая картина движения не является полной, так как взаимодействие между быстрыми (переменные $\theta$ ) и медленными (переменная $\varphi$ ) колебаниями приводит к появлению вторичных резонансов и областей стохастичности. В окрестности же сепаратрисы гамильтониана (3.5.1) хаотическая компонента движения сохраняется даже в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$ (см. п. 3.2в).

Рис. 3.19. Движение вблизи сепаратрисы маятника.
$a-$ плоскость сечення ( $p, \varphi)(\theta=$ const $) ; 6$ – плоскость сечения ( $J, \theta)$ ( $\varphi=$ const $)$. Стохастическая траектория заполняет защтрихованную область вокруг невозмущенной сепаратрисы (сплошная линия).

Гамильтониан (3.5.1) был получен путем усреднения в окрестности резонанса $\omega_{2} / \omega_{1}=r / s$ следующего гамильтониана [см. (2.4.9) ]:
\[
H=H_{0}(J)+\frac{1}{2} G p^{2}-\varepsilon F \cos \varphi+
\]

\[
+\varepsilon \sum_{\substack{n>1 \\ q
eq 0}} \Lambda_{n_{q}} \cos \left(\frac{n}{r} \varphi-\frac{q}{r} \Omega t+\chi_{n q}\right),
\]

где $G, F, \Lambda$ и $\chi$ – функции переменной действия $J$, канонически сопряженной быстрой фазе $\theta$. Сравнивая (3.5.1) и (3.5.4), видим, что медленное движение в переменных ( $p, \varphi$ ) на поверхности сечения $\theta=$ const, описываемое гамильтонианом (3.5.1), возмущено, что приводит к появлению тонкого стохастического слоя вокруг сепаратрисы. Этот слой схематически показан на рис. 3.19 , а вместе с невозмущенной сепаратрисой.

Можно также исследовать движение в переменных $J, \theta$ на поверхности сечения $\varphi=$ const. В этих переменных невозмущенному движению соответствует линия постоянного $J$. Под влиянием возмущения образуется стохастический слой, заштрихованный на рис. 3.19 , б. Видно, что в переменных $J, \theta$ хаотическое движение четко отделено от интегрируемого (тривиального) движения. Построим поэтому отображение именно в переменных $J, \theta$, выбрав для удобства ${ }^{1}$ ) поверхность сечения $\varphi \approx 0$.