Первые теоретические оценки диффузии Арнольда были получены Чириковым $\left[68,70\right.$ ] и его сотр. $\left.{ }^{1}\right)$. Теннисон и др. [406] и Либерман [273] рассчитали скорость диффузии для модельной задачи, описанной в п. 6.16. Теоретический анализ основан на разделении исходной системы с тремя степенями свободы на две подсистемы, каждая из которых рассматривается в первом приближении независимо. Мы будем называть такой подход моделью стохастической накачки ${ }^{2}$ ). В простейшем случае при этом учитывается взаимодействие только трех резонансов. Пусть, например, ведущий резонанс, вдоль которого идет диффузия Арнольда, связан, скажем, со степенью свободы 2. Взаимодействие между степенями свободы 1 и 2 , описываемое гамильтонианом
\[
H_{\perp}\left(I_{1}, I_{2}, \theta_{1}, \theta_{2}\right) \approx \text { const }
\]

приводит к интенсивному хаотическому движению поперек стохастического слоя ведущего резонанса. Взаимодействие же между степенями свободы 2 и 3 с гамильтонианом
\[
H_{\|}\left(I_{2}, I_{3}, \theta_{2}, \theta_{3}\right) \approx \text { const }
\]

вызывает более слабую диффузию Арнольда. Подсистемы (6.2.1) и (6.2.2) рассматриваются последовательно. Сначала из (6.2.1) находятся величины $\theta_{2}(t)$ и $I_{2}(t)$, характеризующие движение в стохастическом слое. Затем они подставляются в (6.2.2), что дает возможность найти стохастическое изменение $I_{3}(t)$, определяющее диффузию Арнольда.

Основная трудность при использовании этого метода состоит в выяснении, какие именно резонансы определяют диффузию вдоль и какие — поперек стохастического слоя. В случае трех резонансов ведущим можно считать любой из них, что просто определяет область начальных условий движения. Наиболее сильный из оставшихся задает диффузию поперек слоя, а более слабый вызывает диффузию Арнольда ${ }^{3}$ ).