Начнем с рассмотрения автономных систем; случай явной зависимости гамильтониана от времени исследуем позже. Пусть $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})$ вектор обобщенных импульсов и координат, представляющий положение системы в фазовом пространстве. Введем производщую функцию Ли ш $(\boldsymbol{x}, \varepsilon)$ с помощью уравнения
\[
\frac{d x}{d \varepsilon}=[x, w(x, \varepsilon)],
\]

которое можно рассматривать как уравнение Гамильтона с «гамильтонианом» $w$ и «временем» $\varepsilon$, записанное посредством скобок Пуассона. Его решение при любом $\varepsilon$ и начальном условии $\boldsymbol{x}$ :
\[
\overline{\boldsymbol{x}}=\overline{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{x}, \varepsilon)
\]

представляет собой каноническое преобразование от $\boldsymbol{x}$ к $\boldsymbol{x}$, для которого выполняются соотношения
\[
\left[\bar{q}_{i}, \bar{q}_{i}\right]=\left[\bar{p}_{i}, \bar{p}_{i}\right]=0 ; \quad\left[\bar{q}_{i}, p_{j}\right]=\delta_{i j} .
\]

Введем отвечающий преобразованию (2.5.4) эволюционный оператор $\hat{T}$, который переводит любую функцию $g$ в преобразованной точке $\overline{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon}$ ) в соответствующую функцию $f$ в начальной точке, т. е. равенство
\[
f=\hat{T} g
\]

означает
\[
f(x)=g[\bar{x}(x, \varepsilon)] .
\]

В частности, если $g(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}$, то
\[
\overline{\boldsymbol{x}}=\hat{T} \boldsymbol{x} .
\]

Для явного определения преобразования $\hat{T}$ введем оператор Ли $\hat{L}$ :
\[
\hat{L}=[w, \quad] .
\]

Из (2.5.3) и (2.5.8) получаем операторное уравнение
\[
\frac{d \hat{T}}{d \varepsilon}=-\hat{T} \hat{L}
\]

которое допускает формальное решение
\[
\hat{T}=\exp \left[-\int \hat{L}(\varepsilon) d \varepsilon\right] .
\]

Для любого канонического преобразования, в том числе и для порождаемого функцией $w$, новый гамильтониан $H$ связан со старым гамильтонианом $H$ соотношением
\[
\bar{H}(\bar{x}(x, \varepsilon))=H(x),
\]
т. е. новый гамильтониан в новой точке равен старому гамильтониану в старой точке. В силу (2.5.6) и (2.5.7) получаем
\[
\bar{H}=\hat{T}^{-1} H \text {. }
\]

Для неавтономных систем $w, \hat{L}, \hat{T}$ являются явными функциями времени $t$, которое считается фиксированным при выводе преобразования $\hat{T}$. По этой причине все полученные выше соотношения до (2.5.11) включительно остаются справедливыми. Однако старый и новый гамильтонианы не совпадают, и равенство (2.5.13) не выполняется. Правильное соотношение [49]
\[
\bar{H}=\hat{T}^{-1} H+\hat{T}^{-1} \int_{0}^{\varepsilon} \hat{T}\left(\varepsilon^{\prime}\right) \frac{\partial w\left(\varepsilon^{\prime}\right)}{\partial t} d \varepsilon^{\prime}
\]
[ср. с (1.2.11в) или (1.2.13в)] было впервые получено Дьюаром [105]. Вместе с выражениями (2.5.9) и (2.5.11) для операторов $\hat{L}$ и $\hat{T}$ оно дает полное описание канонических преобразований с помощью производящих функций Ли.