Разложим $w, \hat{L}, \hat{T}, H$ и $\bar{H}$ по степеням $\varepsilon$ [102, 49$]$ :
\[
\begin{array}{l}
w=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} w_{n+1}, \\
\hat{L}=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} \hat{L}_{n+1}, \\
\hat{T}=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} \hat{T}_{n}, \\
H=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} H_{n},
\end{array}
\]

\[
\bar{H}=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} \bar{H}_{n}
\]

где [см. (2.5.9)]
\[
\hat{L}_{n}=\left[w_{r}\right] .
\]

Подставляя (2.5.16) и (2.5.17) в (2.5.10) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получаем рекуррентное соотношение для $\hat{T}_{n}(n>0)$ :
\[
\hat{T}_{n}=-\frac{1}{n} \sum_{m=0}^{n-1} \hat{T}_{m} \hat{L}_{n-m},
\]

которое вместе с условием $\hat{T}_{0}=1$ позволяет определить $\hat{T}_{n}$ через $\hat{L}_{n}$ во всех порядках. Заметим, что в общем случае эти операторы не коммутируют, т. е. $\hat{L}_{i} \hat{L}_{j}
eq \hat{L}_{j} \hat{L}_{i}$ и т. д.

Нам потребуются обратные операторы $\hat{T}_{n}^{-1}$, для определения которых продифференцируем равенство $\hat{T} \hat{T}^{-1}=1$ по переменной $\varepsilon$, откуда
\[
\frac{d \hat{T}^{-1}}{d \varepsilon}=\hat{L} \hat{T}^{-1} .
\]

Последнее уравнение позволяет написать рекуррентное соотношение для $\hat{T}_{n}^{-1}\left(n>0, \hat{T}_{0}^{-1}=1\right)$ :
\[
\hat{T}_{n}^{-1}=\frac{1}{n} \sum_{m=0}^{n-1} \hat{L}_{n-m} \hat{T}_{m}^{-1} .
\]

В первых трех порядках находим
\[
\begin{array}{l}
\hat{T}_{1}=-\hat{L}_{1}, \\
\hat{T}_{2}=-\frac{1}{2} \hat{L}_{2}+\frac{1}{2} \hat{L}_{1}^{2}, \\
\hat{T}_{3}=-\frac{1}{3} \hat{L}_{3}+\frac{1}{6} \hat{L}_{2} \hat{L}_{1}+\frac{1}{3} \hat{L}_{1} \hat{L}_{2}-\frac{1}{6} \hat{L}_{1}^{3}, \\
\hat{T}_{1}^{-1}=\hat{L}_{1}, \\
\hat{T}_{2}^{-1}=\frac{1}{2} \hat{L}_{2}+\frac{1}{2} \hat{L}_{1}^{2}, \\
\hat{T}_{3}^{-1}=\frac{1}{3} \hat{L}_{3}+\frac{1}{6} \hat{L}_{1} \hat{L}_{2}+\frac{1}{3} \hat{L}_{2} \hat{L}_{1}+\frac{1}{6} \hat{L}_{1}^{3} .
\end{array}
\]

Основное правило отыскания $\hat{T}_{n}^{-1}$ по заданному $\hat{T}_{n}$ таково: вместо $\hat{L}_{n}$ подставляем – $\hat{L}_{n}$ и изменяем на обратный порядок записи всех произведений некоммутирующих $\hat{L}$-операторов.

$15 \mathrm{I}$
Чтобы получить уравнения для $w_{n}$, умножим (2.5.14) на $\hat{T}$ слева и продифференцируем по $\varepsilon$
\[
\frac{d \hat{T}}{d \varepsilon} \bar{H}+\hat{T} \frac{d \bar{H}}{d \varepsilon}=\frac{d H}{d \varepsilon}+\hat{T} \frac{\partial \omega}{\partial t} .
\]

Исключая $d \hat{T} / d \varepsilon$ с помощью (2.5.10) и умножая слева на $\hat{T}^{-1}$, находим
\[
\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{d \bar{H}}{d \varepsilon}-\hat{L} \bar{H}-\hat{T}^{-1} \frac{d H}{d \varepsilon} .
\]

Используя степенные разложения, в $n$-м порядке $(n
eq 0)$ имеем
\[
\frac{\partial w_{n}}{\partial t}=n \bar{H}_{n}-\sum_{m=0}^{n-1} \hat{L}_{n-n} \bar{H}_{m}-\sum_{m=1}^{n} m \hat{T}_{n-m}^{-1} H_{m} .
\]

Переписывая первый член первой суммы в виде $\hat{L}_{n} \bar{H}_{0}=\hat{L}_{n} H_{0}=$ $=\left[w_{n}, H_{0}\right]$, приходим к окончательному результату
\[
\hat{D}_{0} w_{n}=n\left(\bar{H}_{n}-H_{n}\right)-\sum_{m=1}^{n-1}\left(\hat{L}_{n-m} \bar{H}_{m}+m \hat{T}_{n-m}^{-1} H_{m}\right),
\]

где учтено, что в нулевом порядкє $\bar{H}_{0}=H_{0}$, и введено обозначение полной производной по времени вдоль невозмущенных траекторий
\[
\hat{D}_{0} \equiv \frac{\partial}{\partial t}+\left[, H_{0}\right] .
\]

Уравнения (2.5.29) до третьего порядка таковы
\[
\begin{array}{c}
\hat{D}_{0} w_{1}=\bar{H}_{1}-H_{1}, \\
\hat{D}_{0} w_{2}=2\left(\bar{H}_{2}-H_{2}\right)-\hat{L}_{1}\left(\bar{H}_{1}+H_{1}\right), \\
\hat{D}_{0} w_{3}=3\left(\bar{H}_{3}-H_{3}\right)-\hat{L}_{1}\left(\bar{H}_{2}+2 H_{2}\right)- \\
-\hat{L}_{2}\left(\bar{H}_{1}+\frac{H_{1}}{2}\right)-\frac{1}{2} \hat{L}_{1}^{2} H_{1} .
\end{array}
\]

Уравнение (2.5.31а) следует сравнить с эквивалентным ему уравнением первого порядка (2.2.10), полученным по методу ПуанкареЦейпеля. В обоих случаях по заданному $H_{1}$ мы выбираем некоторое $\bar{H}_{1}$ обычно так, чтобы устранить секулярности в производящей функции ${ }_{1}$ или $S_{1}$, а затем определяем саму производящую функцию. Полученное $w_{1}$ используется в правой части уравнения (2.5.31б), где $\bar{H}_{2}$ выбирается таким образом, чтобы устранить секулярность в ${ }_{2}$ и т. д. вплоть до любого желаемого порядка.

Хотя система уравнений вида (2.5.31) формально справедлива при любом числе степеней свободы, но если их больше одной, то возникают резонансные знаменатели, так же как и при использовании производящих функций от смешанного набора переменных.

Формальный способ их устранения до любого порядка описан в п. 2.5в.
Маятник. Для иллюстрации применения рядов Депри продолжим рассмотрение примера в п. 2.2а и получим описание нелинейных колебаний маятника во втором порядке. Старый гамильтониан $(2.2 .22$ ) был записан в переменных действие – угол невозмущенной (линейной) системы $J, \theta$. В нулевом порядке из (2.2.22а) имеем
\[
\bar{H}_{0}(J)=\omega_{0} J .
\]

В первом порядке (2.5.31a) дает
\[
\omega_{0} \frac{\partial \omega_{1}}{\partial \theta}=\bar{H}_{1}-H_{1},
\]

где $H_{1}$ определяется выражением (2.2.22б)
\[
H_{1}=-\frac{G J^{2}}{48}(3-4 \cos 2 \theta+\cos 4 \theta) .
\]

Выбирая $\bar{H}_{1}$ так, чтобы исключить порождающее секулярность среднее от $H_{1}$, имеем
\[
\bar{H}_{1}(J)=\left\langle H_{1}\right\rangle=-\frac{1}{16} G J^{2},
\]

где скобки 〈〉 означают среднее по $\theta$. Уравнение (2.5.33) принимает вид
\[
\omega_{0} \frac{\partial \omega_{1}}{\partial \theta}=-\left\{H_{1}\right\}
\]

где скобками \{\} обозначена переменная часть. Интегрируя (2.5.35), находим выражение для $w_{1}$ :
\[
w_{1}=\frac{1}{192} \frac{G J^{2}}{\omega_{0}}(\sin 4 \theta-8 \sin 2 \theta) .
\]

Заметим, что в первом порядке $\bar{H}_{1}$ в (2.5.34) и $w_{1}$ в (2.5.36) совпадают с полученными ранее выражениями (2.2.23) и (2.2.25), где вместо $J$ фигурирует $\bar{J}$. Переходя ко второму порядку, переписываем уравнение (2.5.316)
\[
\omega_{0} \frac{\partial w_{2}}{\partial \theta}=2\left(\bar{H}_{2}-H_{2}\right)-\hat{L}_{1}\left(\bar{H}_{1}+H_{1}\right)
\]

через средние и переменные части в виде
\[
\left.\left.\omega_{0} \frac{\partial w_{2}}{\partial \theta}=2\left(\bar{H}_{2}-\left\langle H_{2}\right\rangle-\left\{H_{2}\right\}\right)-2 \right\rvert\, w_{1},\left\langle H_{1}\right\rangle\right]-\left[w_{1},\left\{H_{1}\right\}\right] .
\]

Снова выберем $\bar{H}_{2}$ так, чтобы обратить в нуль среднее от правой части этого уравнения. Среднее от первых скобок Пуассона уже равно нулю, так как $w_{1}$ содержит только переменную часть. Вторые скобки Пуассона есть произведение двух функций и их среднее отлично от нуля. Положим
\[
\bar{H}_{2}=\left\langle H_{2}\right\rangle+\frac{1}{2}\left\langle\left[w_{1},\left\{H_{1}\right\}\right]\right\rangle .
\]

Выражая второй член с помощью (2.2.22б) и (2.5.36), находим
\[
\left[w_{1},\left\{H_{1}\right\}\right]=-\frac{1}{1152} \frac{G^{2} t^{3}}{\omega_{3}}(17-9 \cos 2 \theta+\cos 6 \theta) .
\]

Используя это соотношение и (2.2.22в), получаем
\[
\bar{H}_{2}=-\frac{1}{256} \frac{G^{2} J^{3}}{\omega_{0}} .
\]

Заметим, что $\bar{H}_{2}$ не есть просто среднее от $H_{2}$, а содержит дополнительное слагаемое, квадратичное по величинам первого порядка. Для получения $\bar{H}_{2}$ достаточно знать $w_{1}$ и вообще для определения $\bar{H}_{n}$ необходимо иметь вплоть до порядка ( $n-1$ ). Чтобы найти $w_{2}$, надо проинтегрировать уравнение (2.5.38), которое с учетом (2.5.39); принимает вид
\[
\left.\left.\omega_{0} \frac{\partial w_{2}}{\partial \theta}=-2\left\{H_{2}\right\}-2 \right\rvert\, w_{1},\left\langle H_{1}\right\rangle\right]-\left\{\left[w_{1},\left\{H_{1}\right\}\right]\right\} .
\]

Решение этого уравнения не представляет большого интереса и здесь не приводится. Суммируя $\bar{H}_{0}, \bar{H}_{1}$ и $\bar{H}_{2}$, получаем во втором порядке $(\varepsilon=1)$
\[
\bar{H}=\omega_{0} J-\frac{1}{16} G J^{2}-\frac{1}{256} \frac{G^{2} J^{3}}{\omega_{0}} .
\]

На первый взгляд кажется странным, что новый гамильтониан является функцией только старого действия $J$. Последнее становится, однако, понятным, если учесть, что в методе Ли определяющими являются операции над функциями, а не над их аргументами. Этовидно уже из вывода преобразования (2.5.8) с помощью преобразования функций (2.5.6). Аргументы же функций [например, $J$ в (2.5.42)] являются формальными переменными и должны быть заменены в конце вычислений на преобразованные переменные $\left.[J=\bar{J}(\varepsilon)]^{\mathbf{1}}\right)$.

Так как $\bar{H}$ зависит только от $\bar{J}$, то новая частота с точностью до второго порядка равна
\[
\bar{\omega}=\frac{d \bar{H}}{d \bar{J}}=\omega_{0}\left[1-\frac{1}{8} \frac{G \bar{J}}{\omega_{0}}-\frac{3}{256} \frac{G^{2} \bar{J}^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right] .
\]
1) Отмеченное выше недоразумение связано просто с неудачным обозначением; гамильтониан (2.5.42) зависит не от старой, а от формальной переменной, которую следовало бы обозначить другой буквой.- Прим. ред.

Это выражение следует сравнить с результатом (2.2.24) первого порядка. Исключая действие $\bar{J}$ из (2.5.43a), с помощью соотношения $\bar{H}(\bar{J})=E+F$, где $\bar{H}(\bar{J})$ дается формулой (2.5.42) с заменой $J$ на $\bar{J}$, а $\omega_{0}^{2}=F G$, получаем зависимость частоты колебаний от энергии
\[
\bar{\omega}=\omega_{0}\left[1-\frac{1}{8}\left(\frac{E+F}{F}\right)-\frac{5}{256}\left(\frac{E+F}{F}\right)^{2}\right] .
\]

Эта зависимость показана на рис. 2.2 в виде кривой 3 .