Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Простое перекрытие. Простейший критерий, как видно из рис. $4.5, a$, состоит в том, чтобы удвоенное значение $\Delta I_{\text {макс }}$, вычисленное по (4.1.29), было равно расстоянию между целыми резонансами $\delta I=2 \pi$, откуда или Рис. 4.5. Схема перекрытия резонансов. Поскольку это значение $K$ слишком велико, мы уточним его, приняв во внимание полуцелый резснанс, который расположен посередине между соседними целыми резонансами. где индексы 1 и 2 обозначают соответственно целый и полуцелый резонансы. Для вычисления ширины резонанса $\Delta I_{2}$ нужно учесть вторую гармонику Фурье (§2.4). Для стандартного отображения эта гармоника появляется только во втором порядке теории возмущений, поскольку исходное возмущение $K \sin \theta$ имеет только первую гармонику. Так как полуцелый резснанс максимально удален на фазовой плоскости от целых резонансов, то можно использовать стандартную теорию возмущений. Чтобы получить новый гамильтониан $\bar{H}$ до второго порядка малости, используем метод Ли, описанный в п. 2.5б. Гамильтониан (4.1.24) можно записать в виде где, как обычно, параметр $\varepsilon$ отмечает возмущение. Прежде всего из уравнения Депри (2.5.31a) первого порядка найдем производящую функцию Ли $w_{1}$. Так как $\left\langle H_{1}\right\rangle=0$, где скобки 〈> означают усреднение по невозмущенной траектории, выберем $\bar{H}_{1}=0$ и решим (4.2.5) относительно $w_{1}$ : Поскольку полуцелые резонансы расположены по $I$ между целыми резонансами, т. е. где $p$-целое число, то функция $w_{1}$ не является сингулярной. Преобразованный гамильтониан $\vec{H}$ теперь вычисляется из уравне ния Депри второго порядка где $H_{2}$ и $\bar{H}_{1}$ равны нулю. Выберем $\bar{H}_{2}$ так, чтобы среднее от правой части (4.2.8) обратилось в нуль: Раскрывая скобки Пуассона и подставляя разложения для $w_{1}$ и $H_{1}$, получаем При усреднении по невозмущенной траектории $\theta=\operatorname{In}$ первая сумма обращается в нуль, за исключением членов $m=m^{\prime}$. Последние дают постоянное слагаемое, которое можно опустить. Во второй сумме остаются члены, для которых или с учетом (4.2.7) Для (4.2.11) это дает Сумма по $m$ не зависит от $p$ : Поэтому во втором порядке имеем где Значение $K$, соответствующее перекрытию целых и полуцелых резонансов, находим с помощью подстановки (4.1.29) и (4.2.18) в $(4.2 .3)$ : что дает $K \approx 1,46$ [70]. Соотношение (4.2.19) все еще завышает критическое значение $K$. Дальнейшее улучшение этой оценки возможно путем учета резонансов более высоких гармоник $(k>2)$, а также конечной ширины их стохастических слоев. Чириков сделал и то и другое и нашел, что наиболее существенным является учет ширины стохастического слоя. Здесь $w$-относительное отклонение энергии от ее значения $K$ на сепаратрисе а $\varphi$ – фаза внешнего возмущения $[\varphi=2 \pi n$ в (4.1.26)] в тот момент, когда фаза колебаний на резонансе проходит эллиптическую точку; $Q_{0}$ – отношение частоты внешнего возмущения к частоте малых фазовых колебаний: Как было показано в п. 4.1б, линеаризация уравнения (4.1.6б) по $w$ приводит к стандартному отображению с параметром стохастичности (4.1.9). Используя для $w_{0}$ выражение (3.5.27), получаем параметр стохастичности $K_{2}$ для вторичных резонансов вблизи сепаратрисы в виде Подставляя в это выражение (4.2.21) и требуя, чтобы на границе стохастичности как для первичных, так и для вторичных резонансов $K_{2}=K$, получаем полуширину стохастического слоя: Теперь нужно связать $w_{1}$ с полушириной стохастического слоя $\Delta I_{s}$ по переменной действия при $\theta=\pi$. Для маятника с гамильтонианом энергия на сепаратрисе $H=K$, а действие в точке $\theta=\pi$, согласно (4.1.29), равно $I_{0}=2 K^{1 / 2}$. Из (4.2.20) для энергии и фазы $\theta=\pi$ из (4.2.24) найдем и если $w \ll 1$, то Следовательно, Таким образом, уточненный критерий перекрытия (см. рис. 4.5, , ) можно записать в виде Этот критерий означает, что ширика целого резонанса плюс ширина его стохастического слоя плюс ширина полуцелого резонанса равна расстоянию между центрами двух целых резонансов. Для получения критического значения $K$, определяющего границу глобальной стохастичности, нужно решить уравнение (4.2.29) с $w_{1}$ из (4.2.23). В результате находим. $K=1,2$. С помощью дополнительных эвристических соображений ${ }^{1}$ ) Чириков [70] получил $K \approx 1,06$. Подробное численное исследование стандартного отображения [70] дало в качестве верхней границы близкое значение $K \approx 0,99$. В $\$ 4.4$ будет показано, что более тонкий критерий стохастичности приводит к значению $K \approx 0,9716$. и соответствует первой инвариантной кривой. Однако более правильно связать параметр стандартного отображения $K$ со значением $u_{1}$ в центре целого резонанса. Из рис. 1.14 видно, что $u_{1}=$ $=25=2,5 \sqrt{\bar{M}}$. Соответствующие этому значения $K=1,0$ и $\alpha=1 / 6$ согласуются с результатами для стандартного отображения. Уменьшение возмущения $K(u)$ при увеличении $u$ для отображения Улама приводит к асимметрии, вследствие которой инвариантные кривые ниже резонанса разрушаются, а выше сохраняются. Можно ожидать, что чем сильнее зависимость $K(u)$, тем больше отклонения от стандартного отображения ${ }^{1}$ ).
|
1 |
Оглавление
|