Продолжим изучение возмущенного отображения поворота (3.1.13). Қак мы уже знаем, согласно теореме КАМ, инвариантные кривые с иррациональным значением $\alpha$, достаточно удаленным от рациональных значений $\mathrm{r} / \mathrm{s}$, сохраняют свою топологию и лишь слегка деформируются при малом возмущении. Однако при рациональных значениях $\alpha=r / s$ и вблизи них теорема КАМ неприменима. Для исследования структуры отображений в этом случае воспользуемся более ранней теоремой.
Теорема Пуанкаре-Биркгофа. В случае невозмущенного отображения поворота (3.1.8) любая точка на окружности $\alpha(J)=r / s$ является периодической ${ }^{1}$ ) с периодом $s$ (см. рис. 3.1,б). Теорема Пуанкаре-Биркгофа утверждает, что возмущенное отображение поворота будет иметь $2 k s$ периодических точек $(k=1,2, \ldots)$. Поясним это, используя рис. 3.3.

Предположим для определенности, что $\alpha(J)$ возрастает с $J$. Тогда вне кривой, соответствующей рациональному значению $\alpha(J)=r / s$, существует инвариантная кривая $\alpha>r / s$, которая после
1) В оригинале – fixed point (неподвижная точка), термин, который относится не к исходному отображению $T$, а к его $s$-й степени $T^{\mathrm{s}}$, т. е. к отображению после $s$ итераций.- Прим. перев.

$s$ итераций отображения окажется повернутой против часовой стрелки (наружные стрелки на рис. 2.3). Существует и инвариантная кривая с $\alpha<r / s$, которая после $s$ итераций окажется поверну-

Рис. 3.3. К теореме Пуанкаре-Биркгофа.
Пересечения сплошной кривой, для всех точек которой полярный угол $\theta$ остается неняменным после $s$ итераций, с $s$-й итерацией этой кривой (пунктирной) определяют пернодические точки отображения.

той по часовой стрелке (внутренние стрелки). Следовательно, между этими двумя кривыми должна существовать некая (не инвариантная) кривая (на рис. 3.3 – сп.ошная линия), угловые координаты точек которой не изменяются после $s$ итераций. Радиальные же координаты изменяются таким образом, что сплошная линия на рис. 3.3 переходит в пунктирную. Так как отображение сохраняет площадь, то обе кривые ограничивают одинаковые площади. А это возможно, лишь если эти кривые взаимно пересекаются четное число раз. После $s$ итераций каждая точка пересечения возвращается в исходное положение и, таким образом, каждая из $s$ ее итераций является периодической точкой. При четном числе пересечений всего должно быть $2 k s$ таких точек, которые называются периодическими точками Пуанкаре-Биркгофа. Теорема ничего не говорит о величине $k$, хотя обычно $k=1$.

Если мы более подробно рассмотрим отображение в окрестности периодических точек на рис. 3.3 , то заметим, что существуют два различных типа поведения. Вблизи эллиптической точки (см. рис. 3.3) соседние точки как бы вращаются вокруг нее. В противоположность этому вблизи гиперболической точки соседние точки уходят из ее окрестности. Мы уже встречались с поведением такого типа при рассмотрении движения в фазовом пространстве простого маятника в $\S 1.3$. Там мы нашли цепочки чередующихся эллиптических и гиперболических точек, причем первые окружены регулярными траекториями, а вторые соединены между собой сепаратрисами. Такая картина является типичной для нелинейных колебаний при малом возмущении.

Эллиптические точки. В § 2.4 путем перехода к переменным, связанным с эллиптической точкой, нам удалось исследовать все более и более мелкие области регулярного движения на фазовой плоскости. Мы видели, что вокруг эллиптической точки существует своя система резонансов (периодических точек) более высокого порядка, движение вокруг которых повторяет исходное на более мелком масштабе. Было показано также [см. (2.4.62) и последующее обсуждение], что возмущение в высших порядках очень быстро уменьшается с $s$ (пропорционально $1 / s$ !). Если исходное возмущение мало, то фазовая плоскость заполнена, в основном, инвариантными кривыми, топология которых такая же, как и у невозмущенной системы. Остальная часть фазовой плоскости вокруг эллиптических точек заполнена инвариантными кривыми другой топологии. Можно ли сказать, что вся фазовая плоскость заполнена инвариантными кривыми все возрастающей сложности и все более мелких масштабов, пока с ростом возмущения вся эта структура внезапно не разрушается, переходя в стохастичность? Оказывается, что нет. В типичном случае области стохастичности существуют в окрестности сепаратрис (связанных с гиперболическими точками) при любом возмущении и растут вместе с ним.
Гиперболические точки. Рассмотрим поведение отображения в окрестности гиперболической точки. Мы уже знаем, что осциллятор с одной степенью свободы, как, например, маятник, имеет сепаратрису, которая соединяет гиперболические точки, приближаясь к одной из них и удаляясь от другой. У маятника есть лишь одна гиперболическая точка, но в общем случае имеется цепочка из $\mathrm{ks}$ гиперболических точек. В интегрируемом случае они соединяются между собой гладкой сепаратрисой. В случае же неинтегрируемой системы с несколькими степенями свободы или соответствующего отображения вида (3.1.13) ситуация оказывается значительно более сложной. Следуя Берри [26], мы качественно опишем картину

Рис. 3.4. Гомоклинная точка и стохастичность вблизи сепаратрисы (числовые данные из работы [107]).
$a-$ входящая $\left(H^{+}\right.$) и выходящая ( $H^{-}$) сепаратрисы пересекаются в бесконечном числе точек (схема); б – более подробная картинє пересечений вблизи гиперболической точки.

поведения сепаратрис, основанную на работах Пуанкаре [337], Биркгофа [30] и Смейла [381] 1). Близкое изложение содержится в книгах Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310].

Гиперболическая точка соединяет четыре траектории: две входящие $\left(H^{+}\right)$и две выходящие $\left(H^{-}\right)$. Точка $\boldsymbol{x}$ принадлежит сепаратрисе $H^{+}$, если в результате последовательных отображений $T^{n} \boldsymbol{x}$ она приближается к гиперболической точке при $n \rightarrow \infty$. Если же это происходит в результате обратных отображений $T^{-n} x$, то точка $x$ принадлежит сепаратрисе $H^{-}$. Поскольку на сепаратрисе период колебаний бесконечен, движение точки $\boldsymbol{x}$ становится все более и более медленным по мере приближения к гиперболической точке. Рассмотрим теперь две соседние гиперболические точки одного и того же резонанса. В отличие ог интегрируемой системы сепаратриса $H^{-}$, выходящая из гиперболической точки, не соединяет ее с соседней, а в типичном случае пересекает сепаратрису $H^{+}$, приходящую в соседнюю (сдвинутую по фазе на $2 \pi / k s$ ) гиперболическую точку. Место пересечения называется гомоклинной точкой, так как она соединяет выходящую и входящую сепаратрисы одного и того же резонанса. Пересечения сепаратрис соседних резонансов называются гетероклинными точками. Легко показать, что если существует одно пересечение, то их существует и бесконечно много.

Такое чрезвычайно сложное поведение можно представить себе несколько более наглядно с помощью следующей схемы, как это было сделано впервые Мельниковым [298]. Рассмотрим гиперболическую точку и ее отображение, как показано на рис. $3.4, a$. Из пересечения сепаратрис $H^{-}$и $H^{+}$в гомоклинной точке $\boldsymbol{x}$ следует, что они пересекаются и в точках $\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime \prime}$ и т. д. При этом точка $\boldsymbol{x}^{\prime \prime}$ расположена к $\boldsymbol{x}^{\prime}$ ближе, чем $\boldsymbol{x}^{\prime}$ к $\boldsymbol{x}$. Так как области, заключенные между взаимно пересекающимися кривыми $H^{-}$и $H^{+}$(они заштрихованы на рисунке), являются отображениями одна другой, то их площади равны. Следовательно, между точками $\boldsymbol{x}^{\prime}$ и $\boldsymbol{x}^{\prime \prime}$ кривая $H^{-}$отклоняется от $H^{+}$сильнее, чем между $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{x}^{\prime}$. Последующие пересечения сепаратрис все более и более сближаются, а амплитуда осцилляций $H^{-}$возрастает. На рисунке не изображена сепаратриса $H^{+}$, приближающаяся к левой гиперболической точке сверху. Она осциллирует так же сильно, как и $H^{-}$справа. Все сказанное относится и к двум другим сепаратрисам в нижней части рисунка. На рис. 3.4, б приведены численные результаты Драгта и Финна [107], иллюстрирующие пересечение сепаратрис в окрестности гиперболической точки. Сепаратриса $\mathrm{H}^{-}$, выходящая из соседней гиперболической точки слева, осциллирует при приближении к гиперболической точке справа, а сепаратриса $H^{+}$(не показанная на рис. $3.4, a$ ) осциллирует, удаляясь от нее.
1) Важную роль в этих исследованиях сыграли также работы Мельникова [298, 299].- Прим. ред.

Для численного определения сепаратрис, например $H^{-}$, выбираем произвольную точку на кривой $H^{-}$вблизи той гиперболической точки, из которой она выходит, и проводим прямую между выбранной точкой и ее отображением. Последовательные итерации этого отрезка и дают осциллирующую сепаратрису $H^{-}$, приближающуюся к соседней гиперболической точке справа.

Сами по себе гомоклинные точки еще не дают полной картины всей этой очень сложной области вблизи сепаратрисы. Так как период фазовых колебаний обращается в бесконечность на сепаратрисе, то в ее окрестности имеется бесконечно много вторичных резонанов, соответствующих высоким гармоникам частоты фазовых колебаний. Қаждый из этих резонансов имеет свою собственную систему чередующихся эллиптических и гиперболических точек, со своим сложным движением в их окрестности и многократными пересечениями как своих сепаратрис, так и сепаратрис первичного резонанса в гетероклинных точках. Все эти сепаратрисы, по-видимому, всюду плотно заполняют доступное им фазовое пространство. Пересечение сепаратрис фактически показывает, что в этой области не могут существовать инвариантные торы вследствие изменения топологии траекторий ${ }^{1}$ ). Подробное обсуждение этих вопросов дано Драгтом и финном [107]. Однако для малых возмущений все это чрезвычайно сложное поведение происходит лишь в ограниченной инвариантными кривыми области фазового пространства (рис. 3.4, a).\