Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим уравнения Гамильтона (1.2.6) в общем случае $N$ степеней свободы, когда индекс $i$ пробегает значения от 1 до $N$. Решение уравнений (1.2.6) содержит $2 N$ постоянных, соответствующих начальным значениям координат и импульсов. Они однозначно определяют эволюцию системы, которую можно представлять себе как движение точки в $2 N$-мерном пространстве. Предположим, что мы решили уравнения (1.2.6) и нашли зависимость $p$ и $\boldsymbol{q}$ от времени. Тогда мы можем проследить траекторию движения в $2 N$-мерном пространстве с координатами $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ от некоторого момента времени $t_{1}$, соответствующего начальным значениям $\boldsymbol{p}_{1}$ и $\boldsymbol{q}_{1}$, до более позднего момента $t_{2}$. Такое объединенное пространство $(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ ) называется фазовым прстранством системы. Примеры трех фазовых траекторий показаны на рис. 1.1, где фазовое пространство представлено в двух измерениях, так что абсцисса характеризует $N$ координат $\boldsymbol{q}$, а ордината $-N$ импульсов $\boldsymbol{p}$. Рассмотрим три важных свойства фазового пространства. текает непосредственно из предыдущего, поскольку любая траектория в момент пересечения границы совпадает с одной из граничных траекторий, а значит, и движется вместе с ней. Отсюда можно получить ограничения на движение большой группы траекторий, определяя движение гораздо более узкого класса траекторий, принадлежащих границе. Если нормировать $\tau$ так, чтобы выполнялось условие где интегрирование распространяется на все фазовое пространство ${ }^{1}$ ), то из уравнения непрерывности находим Согласно уравнениям Гамильтона (1.2.6), второй и четвертый члены суммы сокращаются, и мы получаем уравнение выражающее несжимаемость потока в фазовом пространстве. Этот результат известен как теорема Лиувилля, которая оказывается мощным инструментом анализа гамильтоновой динамики (подробное обсуждение и примеры см. в работе [265]). вычисленный в определенный момент времени $t$, является инвариантом движения. Иерархия таких инвариантов разной размер- ности впервые изучалась Пуанкаре [337]. Они были названы им интегральными инвариантами. Общий вывод таких инвариантов дается в работе [430 [1). Интегральные инварианты имеют фундаментальное значение для теории гамильтоновых систем и могут быть приняты в качестве ее основы [13]. Мы рассмотрим первый член этой иерархии [для которой (1.2.31) является $N$-м и последним членом ]: где интеграл берется в определенный момент времени по некоторой двумерной поверхности в фазовом пространстве. где интегрирование производится теперь по замкнутой в фазовом пространстве кривой при фиксированном значении $t$. Величина (1.2.33) называется относительным интегральным инвариантом системы. В общем случае применение теоремы Стокса понижает размерность области интегрирования на единицу и преобразует интегральный инвариант, взятый по произвольному гиперобъему, в относительный инвариант, взятый по замкнутой гиперповерхности. Относительные интегральные инварианты особенно важны для колебательных систем (см. ннже). Расширенное фазовое пространство. Рассмотрим теперь гамильтониан $H$, явно зависящий от времени. Вариационный принцип (1.2.8), из которого получаются уравнения Гамильтона, справедлив при интегрировании по любому параметру, не зависящему от вариации. Обозначим такой параметр через $\zeta$ и перепишем (1.2.8) в виде Положив получим новую форму вариационного уравнения где $-H$ и $t$ можно рассматривать как дополнительные импульс и координату в некотором новом расширенном фазовом пространстве размерности $(2 N+2)$. Поток параметризуется теперь новым «временем» $\zeta$. Новый гамильтониан $\vec{H}$ для расширенного набора канонических переменных ( $\boldsymbol{p},-H, \boldsymbol{q}, \boldsymbol{t}$ ) можно получить с помощью производящей функции Используя (1.2.13в), находим $\bar{H}(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}}, t)=H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)-H$, и канонические уравнения, принимают вид Новый гамильтониан, определяющий поток в расширенном фазовом пространстве, не зависит явно от «времени» $\zeta$. Кроме того уравнения (1.2.37) с $i=N+1$ дают: $t(\zeta)=\zeta$ и $\bar{H}=$ const. Таким образом, движение системы с гамильтонианом, зависящим от времени, эквивалентно движению с дополнительной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени ${ }^{1}$ ). Справедливо и обратное. Рассмотрим независящий от времени гамильтониан $\bar{H}$ для системы с $N$ степенями свободы в $2 N$-мерном фазовом пространстве. Выберем любую из обобщенных координат в качестве нового «времени» $\zeta$. Тогда канонически сопряженный ей импульс представляет новый гамильтониан $H$, зависящий от «времени» и описывающий движение системы с $(N-1)$ степенями свободы в сокращенном фазовом пространстве размерности ( $2 \mathrm{~N}-2$ ). Пусть, например, Положим и разрешим (1.2.38) относительно $p_{N}=p_{N}\left(\bar{p}, \vec{q}, q_{N}\right)$. Выбирая $\bar{H}=-p_{N}$ и $\zeta=q_{N}$, мы получаем уравнения Гамильтона (1.2.37) в сокращенном фазовом пространстве $(\bar{p}, \bar{q})$, где новый гамильтониан оказывается явной функцией «времени» $\zeta$ (подробности см. в работе $[430]$, § 141). Таким образом, теория, развитая для независящего от времени гамильтониана с $N$ степенями свободы, применима также и к гамильтониану, зависящему от времени, но с $N-1$ степенями свободы. В частности, независящий от времени гамильтониан с двумя сте- пенями свободы динамически эквивалентен гамильтониану с одной степенью свободы, зависящему от времени. Рис. 1.2. Контур интегрирования для вычисле- причем интегрирование производится при $\zeta=$ const. Поскольку выбор $\zeta$ произволен, то новый путь интегрирования, который включает и изменение времени, может быть выбран так, что часть его будет проходить вдоль действительной траектории системы в фазовом пространстве. Для специального случая $H=$ const второе слагаемое обращается в нуль при интегрировании по любому замкнутому контуру, и мы получаем Если теперь выбрать пучок траекторий, вокруг которого производится интегрирование, как это показано на рис. 1.2 , то полный путь интегрирования будет состоять из двух частей где путь $C_{1}$ охватывает один период колебаний. При этом конечные точки кривой $C_{1}$ имеют одинаковые значения $q$, и поэтому путь $C_{2}$ можно выбрать так, что $q=$ const. Вследствие этого из (1.2.40) и (1.2.42) получаем Отсюда вытекает эквивалентность интеграла действия и относительного интегрального инварианта в рассматриваемом случае ${ }^{1}$ ). Значение интеграла действия определяется прежде всего тем, что он является каноническим импульсом в переменных действие угол (см. § 1.2в). Помимо этого, он окязывается адиабатическим инвариантом движения, т. е. остается приблизительно постоянным в случае медленного, по сравнению с периодом колебаний, изменения гамильтониана со временем. Адиабатическое постоянство действия подробно рассматривается в § 2.3 и имеет фундаментальное значение для понимания регулярного движения в системах с гамильтонианом, зависящим от времени, и в системах с несколькими степенями свободы. В частности, удобно выбрать поверхность сечения $\sum_{R}$ следующим образом. Заметим прежде всего, что траектория лежит на трехмерной энергетической поверхности $H\left(p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}\right)=H_{0}$ в четырехмерном фазовом пространстве [см. рис. 1.3, б (1)]. Это уравнение определяет любую из четырех переменных, скажем $p_{2}$, как функцию трех остальных Рассмотрим проекцию траектории на трехмерный объем ( $p_{1}, q_{1}, q_{2}$ ) на рис. $1.3, \sigma$ (2). Если движение ограничено, то траектория будет все время пересекать определенную плоскость $q_{2}=$ const внутри этого объема. Эту плоскость, заданную координатой $q_{1}$ и сопряженным импульсом $p_{1}$, удобно выбрать в качестве поверхности сечения $\sum_{R}$. В общем случае последовательные пересечения траектории с поверхностью $\sum_{R}$ будут произвольно распределены в не- Рис. 1.3. Сечение Пуанкаре в фазовом пространстве. из (1.2.44) и (1.2.45) следует Поэтому последовательные пересечения должны лежать на некоторой инвариантной кривой, определяемой уравнением (1.2.46) с $q_{2}=$ const. Таким образом, существование интегралов движения можно определить из анализа пересечений траекторий с поверхностью $\sum_{R}$. После того как существование интеграла установлено, можно исследовать локальюую устойчивость и другие интересные свойства инвариантных кривых. Отметим, что рассматриваемая поверхность сечения $\left(p_{1}, q_{1}\right)$ как раз и является сокращенным фазовым пространством исходной гамильтоновой системы, а последовательные пересечения получаются друг из друга путем канонического преобразования, определяемого уравнениями Гамильтона. Поэтому площадь, ограниченная замкнутой кривой, на поверхности сечения сохраняется. Это важное свойство можно получить и непосредственно следующим образом. Запишем общие дифференциальные соотношения где $\lambda$ и $\mu$ можно рассматривать как начальные координату и импульс на поверхности сечения. Выразив частные производные через производящую функцию $F_{2}(\lambda, p)$ и разрешив (1.2.47) относительно $d p$ и $d q$, получим где введены обозначения $\partial F_{2} / \partial \lambda=F_{\lambda}$ и т. д. Детерминант коэффициентов (1.2.48), эквивалентный якобиану преобразования от переменных $(\lambda, \mu)$ к ( $q, p$ ), равен единице, что и доказывает сохранение площади при преобразовании ${ }^{1}$ ). Это свойство двумерной поверхности сечения в четырехмерном фазовом пространстве в дальнейшем будет играть важную роль как при численном поиске интегралов движения ( $\S 1.4$ ), так и при выяснении устойчивости линеаризованного движения вблизи периодического решения ( $§ 3.3$ ). Метод сечения Пуанкаре можно обобщить и на системы с числом степеней свободы $N>2$. Для независящего от времени гамильтониана системы с $N$ степенями свободы размерность энергетической поверхности в фазовом пространстве равна $2 N-1$ [рис. 1.3, в (1) ]. Исключим, как и раньше, одну из переменных, например $p_{N}$, и рассмотрим последовательные пересечения траектории с ( $2 N-2)$ мерной поверхностью $q_{N}=$ const с координатами $p_{1}, \ldots, p_{N-1}$, $q_{1}, \ldots, q_{N-1}[$ рис. 1.3, в (2)]. При этом поверхность сечения попрежнему представляет собой сокращенное фазовое пространство с сохраняющимся объемом. В случае существования одного или более интегралов движения все пересечения будут лежать на одной поверхности, размерность когорой меньше $2 N-2$. В противном случае они будут заполнять некоторый ( $2 N-2$ )-мерный объем. Если движение по разным степеням свободы многомерной системы почти независимо, то удобным способом наглядного представления движения служат проекции поверхности сечения на плоскости ( $p_{i}, q_{i}$ ), как показано на рис. 1.3, в (3). Для регулярного движения с точно разделяющимися переменными ( $p_{i}, q_{i}$ ) площадь сохраняяется в каждой плоскости ( $p_{i}, q_{i}$ ). При этом для каждой степени свободы существует свой интеграл движения и все проекции лежат на некоторой кривой в каждой из плоскостей $\left(p_{i}, q_{i}\right.$ ). Однако в общем случае при $N>2$ даже для регулярной траектории пересечения, спроектированные на поизвольную плоскость $\left(p_{i}, q_{i}\right)$, не лежат на кривой, а заполняют некоторый конечный слой, размер которого зависит от выбора переменных $\left(p_{i}, q_{i}\right)$. В рассматриваемом случае пересечения лежат фактически на ( $N-1$ )-мерной поверхности, проекция которой на любую из плоскостей ( $p_{i}, q_{i}$ ) занимает область конечной площади. Примеры многомерного движения описаны кратко в п. 1.4в и подробно — в гл. 6.
|
1 |
Оглавление
|