Рассмотрим уравнения Гамильтона (1.2.6) в общем случае $N$ степеней свободы, когда индекс $i$ пробегает значения от 1 до $N$.

Решение уравнений (1.2.6) содержит $2 N$ постоянных, соответствующих начальным значениям координат и импульсов. Они однозначно определяют эволюцию системы, которую можно представлять себе как движение точки в $2 N$-мерном пространстве. Предположим, что мы решили уравнения (1.2.6) и нашли зависимость $p$ и $\boldsymbol{q}$ от времени. Тогда мы можем проследить траекторию движения в $2 N$-мерном пространстве с координатами $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ от некоторого момента времени $t_{1}$, соответствующего начальным значениям $\boldsymbol{p}_{1}$ и $\boldsymbol{q}_{1}$, до более позднего момента $t_{2}$. Такое объединенное пространство $(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ ) называется фазовым прстранством системы. Примеры трех фазовых траекторий показаны на рис. 1.1, где фазовое пространство представлено в двух измерениях, так что абсцисса характеризует $N$ координат $\boldsymbol{q}$, а ордината $-N$ импульсов $\boldsymbol{p}$. Рассмотрим три важных свойства фазового пространства.
Рис. 1.1. Траектории в фазовом пространстве.
1. В любой заданный момент времени траектории в фазовом пространстве не пересекаются. Это очевидно из того факта, что начальные условия однозначно определяют последующее движение. Поэтому если бы две траектории совпали, т. е. в какой-то момент времени их значения $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ оказались бы одинаковыми, то и последующее их движение было бы одинаковым. Если гамильтониан не зависит от времени, то траектории в фазовом пространстве также не зависят от времени и, следовательно, вообе не могут пересекаться. Очевидно, что в расширенном фазовом пространстве с добавочной временно́й координатой траектории не будут пересекаться, даже если гамильтониан периодически зависит от времени ${ }^{1}$ ).
2. Любая граница $C_{1}$ в фазовом пространстве, охватывающая некоторое множество начальных условий в момент времени $t_{1}$, трансформируется к моменту времени $t_{2}$ в границу $C_{2}$, охватывающую траектории того же множества. Это свойство вы-
1) Периодическая зависимость здесь несущественна и упомянута, очевидно, только для того, чтобы расширенное фазовое пространство было компактным (ограниченным).- Прим. ред.

текает непосредственно из предыдущего, поскольку любая траектория в момент пересечения границы совпадает с одной из граничных траекторий, а значит, и движется вместе с ней. Отсюда можно получить ограничения на движение большой группы траекторий, определяя движение гораздо более узкого класса траекторий, принадлежащих границе.
3. Рассмотрим некоторый ансамбль начальных условий, каждое из которых представляет возможное состояние системы. Представим вероятность ансамбля, или его плотность распределения,в фазовом пространстве, в виде
\[
\tau=\tau(p, q, t)
\]

Если нормировать $\tau$ так, чтобы выполнялось условие
\[
\int \tau \prod_{i} d p_{i} d q_{i}=1
\]

где интегрирование распространяется на все фазовое пространство ${ }^{1}$ ), то из уравнения непрерывности
\[
\frac{\partial \tau}{\partial t}+\sum_{i}\left(\frac{\partial}{\partial p_{i}}\left(\tau \dot{p}_{i}\right)+\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\tau \dot{q}_{i}\right)\right)=0
\]

находим
\[
\frac{\partial \tau}{\partial t}+\sum_{i}\left(\dot{p}_{i} \frac{\partial \tau}{\partial p_{i}}+\tau \frac{\partial \dot{p}_{i}}{\partial p_{i}}+\dot{q}_{i} \frac{\partial \tau}{\partial q_{i}}+\tau \frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial q_{i}}\right)=0 .
\]

Согласно уравнениям Гамильтона (1.2.6), второй и четвертый члены суммы сокращаются, и мы получаем уравнение
\[
\sum_{i}\left(\dot{\rho}_{i} \frac{\partial \tau}{\partial p_{i}}+\dot{q}_{i} \frac{\partial \tau}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial \tau}{\partial t}=0
\]

выражающее несжимаемость потока в фазовом пространстве. Этот результат известен как теорема Лиувилля, которая оказывается мощным инструментом анализа гамильтоновой динамики (подробное обсуждение и примеры см. в работе [265]).
Интегральные инварианты. Благодаря вышеперечисленным свойствам анализ движения в фазовом пространстве приводит к значительным упрощениям при исследовании динамических задач. В частности, из (1.2.30) немедленно следует, что $2 N$-мерный интеграл
\[
\int \prod_{i} d p_{i} d q_{i}
\]

вычисленный в определенный момент времени $t$, является инвариантом движения. Иерархия таких инвариантов разной размер-
1) Такая нормировка обычно невьполнима из-за неограниченности фазового пространства и несущественна для дальнейшего.- Прим. ред.

ности впервые изучалась Пуанкаре [337]. Они были названы им интегральными инвариантами. Общий вывод таких инвариантов дается в работе [430 [1). Интегральные инварианты имеют фундаментальное значение для теории гамильтоновых систем и могут быть приняты в качестве ее основы [13]. Мы рассмотрим первый член этой иерархии [для которой (1.2.31) является $N$-м и последним членом ]:
\[
\iint \sum_{i} d p_{i} d q_{i}=\text { const, }
\]

где интеграл берется в определенный момент времени по некоторой двумерной поверхности в фазовом пространстве.
Применив теорему Стокса к (1.2.32), получим инвариант
\[
\oint \sum_{i} p_{i} d q_{i}=\text { const, }
\]

где интегрирование производится теперь по замкнутой в фазовом пространстве кривой при фиксированном значении $t$. Величина (1.2.33) называется относительным интегральным инвариантом системы. В общем случае применение теоремы Стокса понижает размерность области интегрирования на единицу и преобразует интегральный инвариант, взятый по произвольному гиперобъему, в относительный инвариант, взятый по замкнутой гиперповерхности. Относительные интегральные инварианты особенно важны для колебательных систем (см. ннже).

Расширенное фазовое пространство. Рассмотрим теперь гамильтониан $H$, явно зависящий от времени. Вариационный принцип (1.2.8), из которого получаются уравнения Гамильтона, справедлив при интегрировании по любому параметру, не зависящему от вариации. Обозначим такой параметр через $\zeta$ и перепишем (1.2.8) в виде

Положив
\[
\delta \int\left(\sum_{i=1}^{N} p_{i} \frac{d q_{i}}{d \zeta}-H \frac{d t}{d \zeta}\right) d \zeta=0 .
\]
\[
\begin{array}{c}
\bar{p}_{i}=p_{i} \quad \vec{q}_{i}=a_{i}, \quad i=1, N, \\
\vec{p}_{N+\mathbf{1}}=-H, \quad \bar{q}_{N+\mathbf{1}}=t,
\end{array}
\]

получим новую форму вариационного уравнения
\[
\delta \int \sum_{i=1}^{N+1} \bar{p}_{i} \frac{d \bar{q}_{i}}{d \zeta} d \zeta=0,
\]

где $-H$ и $t$ можно рассматривать как дополнительные импульс
1) См. также [13].- Прим. переб.

и координату в некотором новом расширенном фазовом пространстве размерности $(2 N+2)$. Поток параметризуется теперь новым «временем» $\zeta$.

Новый гамильтониан $\vec{H}$ для расширенного набора канонических переменных ( $\boldsymbol{p},-H, \boldsymbol{q}, \boldsymbol{t}$ ) можно получить с помощью производящей функции
\[
F_{2}=\sum_{i=1}^{N} \bar{p}_{i} q_{i}+\bar{p}_{N+1} t .
\]

Используя (1.2.13в), находим $\bar{H}(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}}, t)=H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)-H$, и канонические уравнения, принимают вид
\[
\frac{d \bar{p}_{i}}{d \zeta}=-\frac{\partial \bar{H}}{\partial \bar{q}_{i}}, \quad \frac{d \overline{q_{i}}}{d \zeta}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial \bar{p}_{i}} .
\]

Новый гамильтониан, определяющий поток в расширенном фазовом пространстве, не зависит явно от «времени» $\zeta$. Кроме того уравнения (1.2.37) с $i=N+1$ дают: $t(\zeta)=\zeta$ и $\bar{H}=$ const. Таким образом, движение системы с гамильтонианом, зависящим от времени, эквивалентно движению с дополнительной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени ${ }^{1}$ ).

Справедливо и обратное. Рассмотрим независящий от времени гамильтониан $\bar{H}$ для системы с $N$ степенями свободы в $2 N$-мерном фазовом пространстве. Выберем любую из обобщенных координат в качестве нового «времени» $\zeta$. Тогда канонически сопряженный ей импульс представляет новый гамильтониан $H$, зависящий от «времени» и описывающий движение системы с $(N-1)$ степенями свободы в сокращенном фазовом пространстве размерности ( $2 \mathrm{~N}-2$ ). Пусть, например,

Положим
\[
H(p, q)=H_{0} .
\]
\[
\bar{p}_{i}=p_{i}, \quad \bar{q}_{i}=q_{i}, \quad i=1, \quad N-1
\]

и разрешим (1.2.38) относительно $p_{N}=p_{N}\left(\bar{p}, \vec{q}, q_{N}\right)$. Выбирая $\bar{H}=-p_{N}$ и $\zeta=q_{N}$, мы получаем уравнения Гамильтона (1.2.37) в сокращенном фазовом пространстве $(\bar{p}, \bar{q})$, где новый гамильтониан оказывается явной функцией «времени» $\zeta$ (подробности см. в работе $[430]$, § 141).

Таким образом, теория, развитая для независящего от времени гамильтониана с $N$ степенями свободы, применима также и к гамильтониану, зависящему от времени, но с $N-1$ степенями свободы. В частности, независящий от времени гамильтониан с двумя сте-
1) Эти рассуждения несколько формальны. Более существенно то, что движение по дополнительной координате задано, например, $t(\zeta)=\zeta$. В этом состоит также отличие от рассматриваемого далее движения в сокращенном фазовом пространстве.- Прим. ред.

пенями свободы динамически эквивалентен гамильтониану с одной степенью свободы, зависящему от времени.
Интеграл действия. Рассмотрим связь между относительным интегральным инвариантом (1.2.33), для которого интегрирование проводится в некоторый определенный момент времени $t$, и интегралом действия для одномерной колебательной системы с независящим от времени гамильтонианом. Интеграл действия определяется как
\[
J=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q
\]

Рис. 1.2. Контур интегрирования для вычисле-
ния переменной действня.
где интегрирование производится по одному периоду колебаний. В терминах расширенного фазового пространства выражение (1.2.33) для одномерного осциллятора можно переписать в виде
\[
\oint(p d q-H d t)=\text { const, }
\]

причем интегрирование производится при $\zeta=$ const. Поскольку выбор $\zeta$ произволен, то новый путь интегрирования, который включает и изменение времени, может быть выбран так, что часть его будет проходить вдоль действительной траектории системы в фазовом пространстве. Для специального случая $H=$ const второе слагаемое обращается в нуль при интегрировании по любому замкнутому контуру, и мы получаем
\[
\oint p d q=\text { const. }
\]

Если теперь выбрать пучок траекторий, вокруг которого производится интегрирование, как это показано на рис. 1.2 , то полный путь интегрирования будет состоять из двух частей
\[
\oint p d q=\int_{c_{1}} p d q+\int_{C_{2}} p d q,
\]

где путь $C_{1}$ охватывает один период колебаний. При этом конечные

точки кривой $C_{1}$ имеют одинаковые значения $q$, и поэтому путь $C_{2}$ можно выбрать так, что $q=$ const. Вследствие этого из (1.2.40) и (1.2.42) получаем
\[
\int_{C_{1}} p d q=\text { const }=2 \pi J .
\]

Отсюда вытекает эквивалентность интеграла действия и относительного интегрального инварианта в рассматриваемом случае ${ }^{1}$ ). Значение интеграла действия определяется прежде всего тем, что он является каноническим импульсом в переменных действие угол (см. § 1.2в). Помимо этого, он окязывается адиабатическим инвариантом движения, т. е. остается приблизительно постоянным в случае медленного, по сравнению с периодом колебаний, изменения гамильтониана со временем. Адиабатическое постоянство действия подробно рассматривается в § 2.3 и имеет фундаментальное значение для понимания регулярного движения в системах с гамильтонианом, зависящим от времени, и в системах с несколькими степенями свободы.
Сечение Пуанкаре. Метод сечения Пуанкаре является одним из основных методов анализа гамильтоновой динамики. Для автономных систем с двумя степенями свободы фазовое пространство четырехмерно. Выберем в фазовом пространстве некоторую двумерную поверхность $\sum_{R}$ (см. рис. $1.3, a$ ) и рассмотрим последовательные пересечения ее траекторией. Пересечение происходит каждый раз, когда траектория проходит сквозь поверхность в некотором определенном направлении (например, слева направо).

В частности, удобно выбрать поверхность сечения $\sum_{R}$ следующим образом. Заметим прежде всего, что траектория лежит на трехмерной энергетической поверхности $H\left(p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}\right)=H_{0}$ в четырехмерном фазовом пространстве [см. рис. 1.3, б (1)]. Это уравнение определяет любую из четырех переменных, скажем $p_{2}$, как функцию трех остальных
\[
p_{2}=p_{2}\left(p_{1}, q_{1}, q_{2}\right) .
\]

Рассмотрим проекцию траектории на трехмерный объем ( $p_{1}, q_{1}, q_{2}$ ) на рис. $1.3, \sigma$ (2). Если движение ограничено, то траектория будет все время пересекать определенную плоскость $q_{2}=$ const внутри этого объема. Эту плоскость, заданную координатой $q_{1}$ и сопряженным импульсом $p_{1}$, удобно выбрать в качестве поверхности сечения $\sum_{R}$. В общем случае последовательные пересечения траектории с поверхностью $\sum_{R}$ будут произвольно распределены в не-
1) Этот результат можно получить и проще, заметив, что при $H=$ const смещение вдоль фазовой траектории эквивалентно изменению начальных условий.- Прим. ред.

Рис. 1.3. Сечение Пуанкаре в фазовом пространстве.
$a$ – пересечения траектории с поверхностью $\Sigma_{R}$; б – две степени свободы: $t$ – траектория в четырехмерном фазовом пространстве, лежащая на трехмерной энергетической поверхности; 2 – ее проекция на поверхность ( $\left.p_{1}, q_{1}, q_{2}\right) ; 3$ – последовательные пересечения траектории с двумерной поверхностью $q_{2}=$ const (крестики); $ө$ – три степени свободы: 1 – траектория в шестимегном фазовом пространстве, лежащая на пятимерной энергетической поверхности; 2- три последовательных пересечения трасктории с четырехмерной поверхностью $q_{3}=$ const; 3 – проекция этих пересечений на плоскости ( $p_{1}, q_{1}$ ) и ( $\left.p_{2}, q_{2}\right)$.
которой ограниченной области $\sum_{R}$. В случае существования дополнительного (поми.ио $H_{0}$ ) интеграла движения
\[
I\left(p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}\right)=\mathrm{const}
\]

из (1.2.44) и (1.2.45) следует
\[
p_{1}=p_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right) .
\]

Поэтому последовательные пересечения должны лежать на некоторой инвариантной кривой, определяемой уравнением (1.2.46) с $q_{2}=$ const. Таким образом, существование интегралов движения можно определить из анализа пересечений траекторий с поверхностью $\sum_{R}$. После того как существование интеграла установлено, можно исследовать локальюую устойчивость и другие интересные свойства инвариантных кривых.

Отметим, что рассматриваемая поверхность сечения $\left(p_{1}, q_{1}\right)$ как раз и является сокращенным фазовым пространством исходной гамильтоновой системы, а последовательные пересечения получаются друг из друга путем канонического преобразования, определяемого уравнениями Гамильтона. Поэтому площадь, ограниченная замкнутой кривой, на поверхности сечения сохраняется. Это важное свойство можно получить и непосредственно следующим образом. Запишем общие дифференциальные соотношения
\[
\begin{array}{l}
d \lambda=\frac{\partial \lambda}{\partial q} d q+\frac{\partial \lambda}{\partial \mu} d \mu, \\
d p=\frac{\partial p}{\partial q} d q+\frac{\partial p}{\partial \mu} d \mu,
\end{array}
\]

где $\lambda$ и $\mu$ можно рассматривать как начальные координату и импульс на поверхности сечения. Выразив частные производные через производящую функцию $F_{2}(\lambda, p)$ и разрешив (1.2.47) относительно $d p$ и $d q$, получим
\[
\begin{array}{l}
d q=\left(F_{\lambda p}-\frac{F_{p p} F_{\lambda \lambda}}{F_{\lambda p}}\right) d \lambda+\frac{F_{p p}}{F_{\lambda p}} d \mu, \\
d p=-\frac{F_{\lambda \lambda}}{F_{\lambda p}} d \lambda+\frac{1}{F_{\lambda p}} d \mu,
\end{array}
\]

где введены обозначения $\partial F_{2} / \partial \lambda=F_{\lambda}$ и т. д. Детерминант коэффициентов (1.2.48), эквивалентный якобиану преобразования от переменных $(\lambda, \mu)$ к ( $q, p$ ), равен единице, что и доказывает сохранение площади при преобразовании ${ }^{1}$ ). Это свойство двумерной поверхности сечения в четырехмерном фазовом пространстве в дальнейшем
1) В общем случае исходные переменные $p, q$ не являются каноническими на поверхности сечения и сохраняется некоторая их функция $\mathscr{A}(p, q)$ «наведенная» мера.

будет играть важную роль как при численном поиске интегралов движения ( $\S 1.4$ ), так и при выяснении устойчивости линеаризованного движения вблизи периодического решения ( $§ 3.3$ ).

Метод сечения Пуанкаре можно обобщить и на системы с числом степеней свободы $N>2$. Для независящего от времени гамильтониана системы с $N$ степенями свободы размерность энергетической поверхности в фазовом пространстве равна $2 N-1$ [рис. 1.3, в (1) ]. Исключим, как и раньше, одну из переменных, например $p_{N}$, и рассмотрим последовательные пересечения траектории с ( $2 N-2)$ мерной поверхностью $q_{N}=$ const с координатами $p_{1}, \ldots, p_{N-1}$, $q_{1}, \ldots, q_{N-1}[$ рис. 1.3, в (2)]. При этом поверхность сечения попрежнему представляет собой сокращенное фазовое пространство с сохраняющимся объемом. В случае существования одного или более интегралов движения все пересечения будут лежать на одной поверхности, размерность когорой меньше $2 N-2$. В противном случае они будут заполнять некоторый ( $2 N-2$ )-мерный объем.

Если движение по разным степеням свободы многомерной системы почти независимо, то удобным способом наглядного представления движения служат проекции поверхности сечения на плоскости ( $p_{i}, q_{i}$ ), как показано на рис. 1.3, в (3). Для регулярного движения с точно разделяющимися переменными ( $p_{i}, q_{i}$ ) площадь сохраняяется в каждой плоскости ( $p_{i}, q_{i}$ ). При этом для каждой степени свободы существует свой интеграл движения и все проекции лежат на некоторой кривой в каждой из плоскостей $\left(p_{i}, q_{i}\right.$ ). Однако в общем случае при $N>2$ даже для регулярной траектории пересечения, спроектированные на поизвольную плоскость $\left(p_{i}, q_{i}\right)$, не лежат на кривой, а заполняют некоторый конечный слой, размер которого зависит от выбора переменных $\left(p_{i}, q_{i}\right)$. В рассматриваемом случае пересечения лежат фактически на ( $N-1$ )-мерной поверхности, проекция которой на любую из плоскостей ( $p_{i}, q_{i}$ ) занимает область конечной площади. Примеры многомерного движения описаны кратко в п. 1.4в и подробно – в гл. 6.