Прежде чем найти изменение переменной действия $J$, рассмотрим более простую задачу. Дело в том, что при изменении $J$ изменяется также и частота $\omega_{\theta}(J)$. Более простая, но все еще интересная задача получается, если считать частоту $\omega_{\theta}$ фиксированной. Это позволяет развязать возмущенный маятник и остальную часть динамической системы. В таком случае фаза $\theta$ просто пропорциональна времени, а гамильтониан (3.5.4) принимает вид ${ }^{2}$ )
\[
\tilde{H}=\frac{1}{2} G p^{2}-\varepsilon F \cos \varphi+\varepsilon \sum \Lambda_{n_{q}} \cos \left(\frac{n}{r} \varphi-\frac{q}{r} \Omega t+\chi_{n q}\right),
\]

где $G, F, \Lambda, \Omega$ и $\chi$ теперь постоянные, и мы опустили член $H_{0}(J)$. С точностью до членов порядка $\varepsilon$ гамильтонианы $\tilde{H}$ и $H$ полностью эквивалентны. Это легко показать, если перейти к расширенному фазовому пространству (п. 1.2б) для гамильтониана (3.5.5) с новыми каноническими переменными $J^{\prime}=-H^{\prime} / \Omega$ и $\theta=\Omega t$ и новым гамильтонианом
\[
H^{\prime}=\tilde{H}+\Omega J^{\prime} .
\]

Сравнивая $d J / d t$ из (3.5.4) с $d \tilde{H} / d t$ из (3.5.5), видим, что изменение $J$ пропорционально изменению $\widetilde{H}$ :
\[
\Delta J=\frac{-\Delta \tilde{H}}{\Omega} .
\]
1) Выбор переменных $J, \theta$ и сечения $\varphi=0$ продиктован особенностями действия возмущения вблизи сепаратрисы [см. ниже (3.5.12)].Прим. ред.
2) Вместо этого можно просто пренебречь изменением частоты $\omega_{\theta}(J)$ ввиду малости изменения $J$, как фактически и сделано ниже.- Прим. ред.

Вычисление $\Delta J$. Проинтегрируем $d \tilde{H} / d t$, или, что эквивалентно, $d J / d t$ по периоду невозмущенного движения маятника. Как будет видно в дальнейшем, изменение $\Delta J$ мало и экспоненциально зависит от отношения частот $q / r=\Omega / \omega_{0}$. Предположим, что
\[
\omega_{0}=(\varepsilon F G)^{1 / 2} \ll \Omega,
\]

где $\omega_{0}$ – частота малых колебаний маятника. Так как амплитуды Фурье $\Lambda_{n q}$ уменьшаются с ростом $n$ и $|q|$, достаточно сохранить лишь главный член с $n=q=1$. Обозначив $\Lambda=\Lambda_{11}$, получим из $(3.1 .31)$
\[
\Delta J=-\frac{\varepsilon \Lambda}{r} \int_{-\infty}^{\infty} d t \sin \left[\frac{1}{r} \varphi\left(\omega_{0} t\right)-\frac{1}{r}\left(\Omega t+\theta_{n}\right)\right],
\]

где для невозмущенного движения по сепаратрисе (1.3.21) (см. рис. $3.20, a$ ) имеем
\[
\varphi(s)=4 \operatorname{arctg}\left(e^{s}\right)-\pi,
\]
a
\[
\theta=\Omega t+\theta_{n} .
\]

Величина $\chi$ включена в постоянную $\theta_{n}$, равную фазе $\theta$ в момент $n$-го пересечения поверхности $\varphi \approx 0$. Переходя к переменной $s=$ $=\omega_{0} t$ и учитывая, что вклад в интеграл дает только симметричная часть подынтегрального выражения, получаем
\[
\Delta J=\varepsilon \frac{\Lambda}{\omega_{0} r} \mathscr{A}_{(2 r)}\left(Q_{0}\right) \sin \theta_{n} .
\]

Здесь функция
\[
\mathscr{A}_{m}\left(Q_{0}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} d s \cos \left[\frac{m}{2} \varphi(s)-Q_{0} s\right]
\]

называется интегралом Мельникова-Арнольда, а
\[
Q_{0}=\frac{1}{r} \frac{\Omega}{\omega_{0}}
\]

есть отношение частот.
Интеграл Мельникова-Арнольда. Интеграл (3.5.13) является несобственным и фактически не имеет определенного значения. Рассмотрим интеграл
\[
\mathscr{A}_{m}^{\prime}\left(Q_{0}, s_{1}\right)=2 \int_{0}^{s_{1}} d s \cos \left[\frac{m}{2} \varphi(s)-Q_{0} s\right] .
\]

Как видно из рис. 3.20, , при $s_{1} \rightarrow \infty$ последний интеграл есть сумма быстро осциллирующей части и некоторого среднего значения. Осциллирующая часть может быть велика по сравнению со средним, но при усреднении по интервалу времени порядка периода колебаний вблизи сепаратрисы вклад от нее стремится к нулю. Среднее значение $\mathscr{A}_{m}^{\prime}$ определяется областью $s \leqslant 1 / Q_{0}$. В этой области мгновенная частота $\dot{\varphi} \approx 2 \omega_{0}$ (см. рис. 3.20, б) достигает наибольшего значения, максимально приближаясь к частоте возмущения $\Omega$. Это и приводит к поведению, изображенному на рис. 3.20, в. Ниже интеграл в (3.5.13) понимается в смысле своего среднего значения. Его оценка была получена Мельниковым (см. $[70])^{1}$ ). Для целых $m$ интеграл вычисляется точно с помощью вычетов. При $Q_{0}<0$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{A}_{m}\left(Q_{0}\right)=(-1)^{m} \times \\
\times \mathscr{A}_{m}\left(-Q_{0}\right) \exp \left(\pi Q_{0}\right),
\end{array}
\]
1) Приведенные ниже экспоненциальные оценки были впервые получены еще Пуанкаре [337, п. 226]. Поскольку, однако, при $Q_{0} \gg 1$ эффект экспоненциально мал, возникает очень серьезная и трудная проблема оценки точности этого результата, которая до сих пор обсуждается в литературе (см., например, $[197,483$,
Рис. 3.20. Интеграл Мельникова – Арнольда.
a – движение по невозмущенной сепаратрисе $\Phi(s) ; \sigma$ – скорость движения $\varphi^{\prime}(s) ; \theta$ – интеграл Мельникова – Арнольда равен среднему яначению функции $\mathscr{A}_{m}^{\prime}\left(s_{1}\right)$. 484 ]). По существу вопрос был решен уже в первых работах Мельникова [298], который показал, что все неэкспоненциальные поправки могут быть оттрансформированы с помощью канонической замены переменных (см. также [314], лемма 10.3). Тем не менее в некоторых специальных случаях, например, для стандартного отображения, эффекты высших приближений приводят к появлению численного множителя порядка единицы, который пока не поддается аналитической оценке (см. [70, §6.1] и [485]).- Прим. ред.

эта величина обычно очень мала, Для $Q_{0}>0$ получаем
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{A}_{1}=\frac{2 \pi \exp \left(\pi Q_{0} / 2\right)}{\operatorname{sh}\left(\pi Q_{0}\right)}, \\
\mathscr{A}_{2}=2 Q_{0} \mathscr{A}_{1},
\end{array}
\]

и рекуррентное соотношение для $m>2$ имеет вид
\[
\mathscr{A}_{m}=\frac{2 Q_{0} \mathscr{A}_{m-\mathbf{1}}}{(m-1)}-\mathscr{A}_{m-2} .
\]

При $Q_{0} \gg m$ справедливо следующее асимптотическое представление:
\[
\mathscr{A}_{m}=\frac{4 \pi\left(2 Q_{0}\right)^{m-1} \exp \left(-\pi Q_{0} / 2\right)}{(m-1) !} .
\]

Подробности вычисления этих интегралов можно найти в работе [70].

Вернемся к соотношению (3.5.12). Используя асимптотику (3.5.20) в виду того, что $Q_{0} \sim \varepsilon^{-1 / 2}$, получаем первое уравнение возмущенного отображения поворота (3.1.13a) с функцией ( $r=1$ )
\[
\begin{array}{c}
f=f_{0} \sin \theta_{n}, \\
f_{0}=8 \pi \Lambda \Omega^{-1} Q_{0}^{2} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) .
\end{array}
\]