Рассмотрим задачу о вычисленни инвариантного распределения $P(\boldsymbol{x})$ на странном аттракторе. Қак упоминалось в п. 7.2 в , $P(\boldsymbol{x})$ удовлетворяет уравнению
\[
P(\boldsymbol{x})=T P(\boldsymbol{x}),
\]

где $T$ – отображение в сечении Пуанкаре. В случае нескольких инвариантных распределений мы будем понимать под $P(\boldsymbol{x})$ равновесное распределение, для которого среднее по времени на почти любой траектории из области притяжения аттрактора равно фазовому среднему, вычисленному с этим распределением ${ }^{1}$ ).

Пусть $G(\boldsymbol{x})$ – некоторая функция в фазовом пространстве. Ее временно̀е среднее на траектории с начальными условиями $\boldsymbol{x}_{0}$ равно
\[
\bar{G}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} G\left(T^{i} \boldsymbol{x}\right) .
\]

Для почти всех $\boldsymbol{x}_{0}$ в области притяжения данного аттрактора $\bar{G}$ не зависит от $\boldsymbol{x}_{0}$ и равно
\[
\bar{G}=\int d \boldsymbol{x} P(\boldsymbol{x}) G(\boldsymbol{x}),
\]

где $P(\boldsymbol{x})$ – инвариантное распределение для аттрактора. Соотношение (7.3.47) часто более удобно для вычисления $\bar{G}$, чем (7.3.46). В частности, с помощью инвариантного распределения вычисляются показатели Ляпунова (для одномерного отображения это описано в п. $7.2 \mathrm{~B})$.

В случае гамильтоновой системы и канонических переменных $\boldsymbol{x}$ равновесное распределение $P(\boldsymbol{x})=c$, где постоянная $c>0$ на всей хаотической компоненте движения и $c=0$ вне ее. Если хаотическая компонента заполняет почти все фазовое пространство, как, например, в стандартном отображении (3.1.22) при $K \gg 1$, то $P=1 / \tau$, где $\tau$ – объем произвольной области фазового пространства, по которой производится интегрирование в (7.3.47). Однако для диссипативных систем $P(\boldsymbol{x})$ априори неизвестно и его нужно находить для каждого интересующего нас аттрактора ${ }^{2}$ ). Основной метод определения $P(\boldsymbol{x}$ ) состоит в итерировании (7.3.45)
\[
P^{(i+1)}(x)=T P^{(i)}(\boldsymbol{x}),
\]

начиная с какого-либо начального распределения $P^{0}(\boldsymbol{x})$ (предполагая, что вне области притяжения аттрактора $P^{(0)}(\boldsymbol{x})=0$ ). Тогда ${ }^{3}$ )
\[
P(\boldsymbol{x})=\lim _{i-\infty} P^{(i)}(\boldsymbol{x}) .
\]
1) См. примечание редактора на с. 444.- Прим. ред.
2) При практических вычислениях средних обычно достаточно знать крупноструктурное инвариантное растределение.
3) Этот предел существует, вооце говоря, лишьдля хаотического атграктора с перемешиванием.- Прим. ред.

Сведение к одномерному отображению. Некоторое упрощение вычислений можно достигнуть по методу Бриджеса и Раулэндса [40]. Они исследовали двумерные отображения, которые можно описать в некотором пределе с помощью одномерных отображений. Рассмотрим отображение вида
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=F(x, y), \\
\bar{y}=b G(x, y),
\end{array}
\]

где $b$-малый параметр. Полагая в нулевом порядке $y=0$, получаем одномерное отображение
\[
\bar{x}=F(x, 0)=F_{0}(x) .
\]

Смещение аттрактора по $y$ определяется уравнением (7.3.49б) при $y=0$. Решая это уравнение относительно $x$, находим
\[
x=G_{0}^{-1}\left(\frac{\bar{y}}{b}\right) .
\]

Подставляя $x$ в (7.3.50), в итоге получаем для аттрактора уравнение нулевого порядка:
\[
\bar{x}=F_{0}\left(G_{\mathrm{C}}^{-1}\left(\frac{\bar{y}}{b}\right)\right) .
\]

Чтобы прийти к уравнению в следующем порядке, заменим $\bar{x}$ и $\bar{y}$ в (7.3.51) на $x$ и $y$ и решим его относительно $y$ :
\[
y=b G_{0}\left(F_{0}^{-1}(x)\right) \text {. }
\]

Затем, подставляя это решение, как и раньше, в (7.3.49a), получим уравнение для аттрактора в первом порядке. Отображение Хенона (7.1.14) имеет вид (7.3.49) с $G(x, y)=x$. Структура аттрактора, найденная таким методом, удивительно хорошо совпадает с численными результатами.

Для получения инвариантного распределения методом итераций возьмем начальное распределение в виде
\[
P^{(0)}(x, y)=P_{1}(x) \delta(y-y(x)),
\]

где $P_{1}(x)$ – инвариантное распеделение для одномерного отображения (7.3.50), а $y(x)$ определяется уравнением (7.3.52). При $b \ll 1$ это уже дает хорошее приближение для $P(x, y)$.

Трехмерные потоки приближенно описываются обычно с помощью одномерных необратимых стображений, для которых и определяется численно инвариантное распределение [324, 368 ]. Мы уже знаем два таких примера: аттрактор Лоренца (\$ 1.5) и аттрактор Рёслера (п.7.1б). Однако прямое сравнение действительного распределения и одномерного приближения проводится не часто. Израйлев и др. [210] сравнили полученные численным методом распределение $P_{1}(x)$ и распределение
\[
\int P(x, y) d y
\]

для трехмерного потока параметрически возбуждаемого нелинейного осциллятора и нашли хорошее согласие. Они указали также, что малый параметр в (7.3.49) связан с дробной частью фрактальной размерности $d_{f}=\sigma_{1} /\left|\sigma_{2}\right|$ :
\[
b \sim \exp \left[\left|\sigma_{2}\right|\left(d_{f}-1\right)\right]=\exp \left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right) .
\]

Использование уравнения ФПК. Хорошим начальным приближением $P^{(0)}$ инвариантного распределения может служить аналитическое решение уравнения ФПК. Такой метод наиболее удобен в случае малой скорости сжатия фазового объема ( $\left|\sigma_{1}+\sigma_{2}\right| \approx 0$ ), когда метод Бриджеса-Раулэндса неприменим. Этот случай можно рассматривать как малое диссипативное возмущение гамильтоновых отображений, для которых $\sigma_{1}+\sigma_{2} \equiv 0$.

В качестве примера возьмем ускорение Ферми с диссипацией. Используя упрощенное отображение Улама (3.4.6), вводим диссипацию посредством следующих формул:
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}(1-\delta)+\sin \psi_{n}\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+\frac{2 \pi M}{u_{n+1}} .
\end{array}
\]

Здесь $u_{n}$ – приведенная скорость частицы, $\delta \ll 1$ – относительная потеря скорости при столкновении с неподвижной стенкой, $\psi_{n}$ – фаза колеблющейся стенки в момент соударения с частицей, а $M \gg 1$ пропорционально отношению расстояния между стенками к амплитуде колебания стенки (п. 3.4а). Якобиан отображения (7.3.55) равен
\[
R=\frac{\partial\left(u_{n+1}, \psi_{n+1}\right)}{\partial\left(u_{n}, \psi_{n}\right)}=1-\delta .
\]

При $\delta=0$ отображение является гамильтоновым и приводит к обычной картине хаотического движения с островками устойчивости (рис. 1.14).

Для $0<\delta \ll 1$ неподвижные точки в центрах областей устойчивости становятся притягивающими фокусами и можно ожидать, что хаотическая компонента движения будет полностью разрушена. Останется, однако, переходной хаос вблизи сепаратрис ${ }^{1}$ ), как описано в п. 7.3б. Численное моделирование отображения (7.3.55) подтвердило эти представления. Например, при $M=100$ для $0<\delta<0,02$, в том числе и для очень малых $\delta \sim 10^{-6}$, наблюдался переходной хаос. Полное разрушение стационарного хаотического движения при малой диссипации является, по всей видимости, типичным для таких систем. Исследование масштаба времени, в те-
1) При достаточно малом $\delta$ перехсдной хаос охватывает практически всю область стохастичности для $\delta=0[73,74,531]$. Прим. ред.

чение которого сохраняется переходной хаос, проводилось, например, Чириковым и Израйлевым [73, 74]. Однако сейчас нас интересует стационарный хаос, т. е. образование странного аттрактора.

При $M=100$ численные данные убедительно показывают, что в интервале $0,03 \leqslant \delta \leqslant 0,3$ (значения $\delta>0,3$ не исследовались) имеется странный аттрактор ${ }^{1}$ ). Правда, при этом нельзя исключить существование малых участков внутри этого интервала $\delta$ с периодическим движением. На рис. 7.28, а показана поверхность сечения ( $u, \psi$ ) в интервале $4<u<7$ после $4,5 \cdot 10^{5}$ итераций одной траектории. Хорошо видна слоистая структура аттрактора. Более мелкая структура внутри слоев представлена на рис. $7.28,6$, где в увеличенном масштабе показан участок фазовой плоскости $4,4<u<4,8$. Этот участок состоит из $200 \cdot 100$ ячеек, а число итераций траектории составляет $3 \cdot 10^{6}$. Если просуммировать распределение $P(u, \psi)$ по фазе $\psi$ при постоянном $u$, то получается значительно более гладкое распределєние $P(u)$. Согласно численным данным, распределение $P(u)$ хорошо аппроксимируется распределением Гаусса
\[
P(u) \propto \exp \left(-\alpha u^{2}\right),
\]

где $\alpha$ зависит от $\delta$, но не от $M$. Вычисление $P(u)$ производится так же, как и в п. 5.4б. Будем исходить из усредненного по фазе уравнения ФПК (5.4.5). Коэффициенты трения $B$ и диффузии $D$ равны, согласно (5.4.6) и (5.4.7):
\[
\begin{aligned}
B & =\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} d \psi \Delta u, \\
D & =\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} d \psi(\Delta u)^{2},
\end{aligned}
\]
1) Образование хаотического аттрактора при достаточно сильной диссипации, которое, по-видимому, наблюдалось также в работах $[73,74,531]$, связано с тем, что диссипация разрушает устойчивые области. Однако приведенное в тексте критическое значение $\delta=0,03$ вызывает сомнения. Для образования хаотического аттрактора гребуется по крайней мере, чтобы все неподвижные точки отображения (см. рис. 1.14) стали неустойчивыми. Можно показать, что это происходит при условии: $\delta>\left(2 / \pi^{2} M\right)^{1 / 3} \approx 0,13(M=100)$, что заметно превышает приведенное значение, и даже значение $\delta=0,1$ в численном моделировании (рис. 7.28). Для данных на рис. 7.29 это же условие имеет вид $M>203(\delta=0,1)$. Причина, по которой захват траектории в устойчивый фокус не наблюдается при численном моделировании, состоит, по всей видимости, в том, что плотность равновесной функции распределения (7.3.61) в области захвата ( $8,7 \leqslant u \leqslant 10$ для данных на рис. 7.28 ) исчезающе мала и соответственно время существования переходного хаоса огромно. В таком случае вполне можно говорить о квазистационарном хаосе. Условие его существования в данной модели, как можно показать, имеет вид: $\pi M \delta \geq 1$; оно выполняется с запасом для всех численных данных на рис. 7.28 и 7.29.Прим. ред.

где мы предположили равномерное распределение по фазе уже после одной итерации. Из (7.3.55a) имеем
\[
\Delta u(\psi)=-\delta u+\sin \psi
\]

и
\[
\begin{aligned}
B & =-\delta u, \\
D & =\frac{1}{2}+\delta^{2} u^{2} .
\end{aligned}
\]

В стационарном состоянии и в отсутствие потока частиц уравнение ФПК имеет вид
\[
-B P^{(0)}+\frac{1}{2} \frac{d}{d u}\left(D P^{(0)}\right)=0 .
\]

Опуская второй член в (7.3.59б) (см. ниже), получаем нормированное на единицу решение
\[
P^{(0)}(u)=\left(\frac{8 \delta}{\pi}\right)^{1,2} \exp \left(-28 u^{2}\right) .
\]

На рис. 7.29 это решение (сплошная прямая) сравнивается с численными данными при $\delta=0,1$ и различных $M$. При малых скоростях все численные значения хорошо ложатся на теоретическую прямую и не зависят от $M$. Однако при больших скоростях имеется систематическое отклонение. Очевидно, это связано с нарушением условия (5.4.4) применимости уравнения ФПК, которое в данном случае принимает вид
\[
\left(\frac{1}{P^{(0)}} \frac{d P^{(0)}}{d u}\right)^{-1} \geqslant|\Delta u|=1,
\]

или $u^{2} \ll(4 \delta)^{-2}=6,25$ при $\delta=0,1$. Во всяком случае, (7.3.61) является хорошим первым приближением для инвариантного распределения, хотя в нем и полностью отсутствует слоистая структура, масштаб которой по $u$ существенно меньше 1 (см. рис. 7.28, a). Чтобы получить эту структуру, воспользуемся методом итераций, согласно (7.3.48), взяв в качестве начального $P^{(0)}$ распределение (7.3.61). Записывая (7.3.48) в явном виде, находим
\[
P^{(i+1)}(\bar{u}, \bar{\psi}) d \bar{u} d \bar{\psi}=P^{(i)}(u, \psi) d u d \psi,
\]

или
\[
P^{(i+1)}(\bar{u}, \bar{\psi})=R P^{(i)}(u, \psi),
\]

где
\[
R=\frac{\partial(u, \psi)}{\partial(\bar{u}, \bar{\psi})}
\]
– якобиан обратного отображения ( $T^{-1}$ )
\[
u=u(\bar{u}, \bar{\psi}), \quad \psi=\psi(\bar{u}, \bar{\psi}) .
\]

Для диссипативного отображения Улама (7.3.55) $R=(1-\delta)^{-1}$ из (7.3.56), а $T^{-1}$ имеет вид
\[
\psi=\bar{\psi}-\frac{2 \pi M}{\vec{u}},
\]
(7.3.66)
\[
u=\frac{\bar{u}-\sin [\bar{\psi}-(2 \pi M / \vec{u})]}{1-\delta} .
\]
\[
u^{2}
\]

Рис. 7.29. Сравнение численных данных для инвариантного расіределения с решением уравнения ФПК при $\delta=0,1$ и различных значениях $M$. По оси ординат отложена величина, пролорциональная интегралу функции распределения то фазе $у$.

Подставляя (7.3.66) в (7.3.63) с $P^{(0)}$ из (7.3.61), получаем следующее приближение для инвариантного распределения:
\[
P^{(1)}(\bar{u}, \bar{\psi})=\left(\frac{8 \delta}{\pi}\right)^{12} \frac{1}{1-\delta} \exp \left\{-\frac{2 \delta \mid}{(1-\delta)^{2}}\left[\vec{u}-\sin \left(\bar{\psi}-\frac{\mid 2 \pi M}{\bar{u}}\right)\right]^{2}\right\} .
\]
$(73.67)$

Рис. 7.30. Последовательные приближения при вычислении инвариантного распределения (по данным работы [277]).
a) $P^{(1)}(u, \psi)$; б) $P^{(2)}(u, \psi)$; начальное $P^{(0)}(u)$ из (7.3.6!). Обозначснне и параметры те же, что ина рис. 7.28 , б.

Это приближение показано на рис. $7.30, a$, взятом из работы Либермана и Цанга [277]. Его следует сравнить с численными данными на рис. 7.28 , б. В обоих случаях использованы одинаковые параметры модели и ее представления на фазовой плоскости. Грубая слоистая структура $P^{(1)}$ хорошо согласуется с численнымн данными. Результат второй итерации (7.3.63) – распределение $P^{(2)}-$

показан на рис. 7.30, б в тех же условиях. Согласие с численными данными на рис. 7.28 , б становится поразительно хорошим. Следующие итерации дали бы еще более тонкую структуру аттрактора. Для других значений $\delta$, например 0,03 , также имеется хорошее согласие.