В п. 5.46 коэффициенты переноса были получены в приближении хаотических фаз на одной итерации отображения $(\Delta n=1)$. Однако, как было отмечено в п. 5.4а, уравнение ФПК справедливо
1) В оригинале – higher-order transport corrections (поправки высшего порядка к коэффициентам переноса) Принятый в переводе термин более явно отражает природу этих поправок. – Прим. перев.
только при $\Delta n \gg n_{c}$, где $n_{c}$ – число итераций, за которое происходит перемешивание по фазе. Поэтому необходимо оценить поправки к коэффициентам переноса за счет корреляций на интервале $\Delta n \sim n_{c}$.
Впервые такие поправки были получены для стандартного отображения Речестером и Уайтом [345] и другим методом Речестером и др. [346]. Однако их техника использует введение дополнительного внешнего шума, и мы отложим ее обсуждение до следующего параграфа. Қак показано в работе [3], эти же методы можно использовать и без введения шума.
Хотя такая техника применялась пока только к довольно простым системам типа стандартнсго отображения, она является весьма интересной, и мы изложим ее достаточно подробно, следуя Абарбанелю. Он показал также $\mid 2]$, что этот же метод можно применить к задаче о взаимодействғи частицы с волной большой амплитуды (п. 2.2б). Поскольку, как обсуждалось в п. 4.16 (см. также [272]), стандартное отображение токально описывает широкий класс систем, можно надеяться, что полученные для него результаты будут качественно применимы и в более общем случае.
Представление Фурье. Для одной итерации стандартного отображения
\[
\Delta I_{1}=K \sin \theta_{0}
\]
и коэффициенты переноса равны
\[
\begin{array}{l}
F_{1}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Delta I_{1} d \theta_{0}=0, \\
D_{1}=\frac{D}{2}=\frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\Delta I_{1}\right)^{2} d \theta_{0}=\frac{K^{2}}{4} .
\end{array}
\]
Это приближение часто называют квазилинейным ${ }^{1}$ ).
Для получения корреляционных поправок вычислим коэффициент диффузии
\[
D_{n}=\frac{\left\langle\left(\Delta I_{n}\right)^{2}\right\rangle_{I_{n}, \theta_{n}}}{2 n} .
\]
Введем вероятность $W$ перехода $I_{0}, \theta_{0} \rightarrow I_{n}, \theta_{n}$ за $n$ итераций. Тогда
\[
D_{n}=\frac{1}{2 n} \int W\left(I_{n}, \theta_{n}, n \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right)\left(I_{n}-I_{0}\right)^{2} d I_{n} d \theta_{n} .
\]
1) Множитель 1/2 в уравнении ФПК (5.4.5) включен здесь в определение квазилинейного коэффициента диффузии.
Нам потребуется свойство рекуррентности:
\[
\begin{array}{c}
W\left(I, \theta, n \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right)=\int d I^{\prime} d \theta^{\prime} W\left(I, \theta, n \mid I^{\prime}, \theta^{\prime}, n-1\right) \times \\
\times W\left(I^{\prime}, \theta^{\prime}, n-1 \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right),
\end{array}
\]
где из уравнений отображения
$W\left(I, \theta, n \mid I^{\prime}, \theta^{\prime}, n-1\right)=\delta\left(I-I^{\prime}-K \sin \theta^{\prime}\right) \delta\left(\theta-\theta^{\prime}-I^{\prime}-K \sin \theta^{\prime}\right)$.
Вычисление $D_{n}$ непосредственно из (5.4.23) – (5.4.25) быстро становится слишком громоздким. Такую процедуру можно провести для $n=2$; она приводит к интересным осцилляциям $D_{2}$ в зависимости от $I_{0}$, хотя и не ясно, какое значение мог бы иметь этот эффект. Для больших $n$ необходимо найти метод, который становился бы проще с ростом $n$. Как мы увидим, это можно сделать с помощью фурье-представления.
Представим $W$ в виде ряда Фурье по $\theta$ и интеграла Фурье по $I$ :
\[
W\left(I, \theta, n \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right)=\sum_{m} \int d q \exp (i m \theta+i q I) a_{n}(m, q),
\]
где коэффициенты $a_{n}$ зависят также от $I_{0}$ и $\theta_{0}$.
Нас интересует значение $D_{n}$ при больших $n$. Поскольку $I_{n}$ растет как $\sqrt{n}$, то для $n \gg 1$ в (5.4.23) можно сохранить только член с $I_{n}^{2}$ :
\[
D_{n}=\frac{1}{2 n} \int d \theta d I I^{2} W\left(I, \theta, n \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right) .
\]
После подстановки (5.4.26) в (5.4.27) и интегрирования по $\theta$ остается только член с $m=0$. Замена $I^{2}$ на $-\partial^{2} e^{i q I} / \partial q^{2}$ и двойное интегрирование по частям (по $q$ ) приводит к выражению
\[
D_{n}=-\frac{2 \pi}{2 n} \int d q d I e^{i q I} \frac{\partial^{2}}{\partial q^{2}}\left[a_{n}(0, q)\right] .
\]
Интеграл по $I$ дает $2 \pi \delta(q)$. После интегрирования по $q$ получаем
\[
D_{n}=-\left.\frac{4 \pi^{2}}{2 n} \frac{\hat{o}^{2} a_{n}(0, q)}{\partial q^{2}}\right|_{q=0} .
\]
Выведем теперь рекуррентное соотношение для $a_{n}$, которое потребуется нам для вычисления (5.4.29). Из (5.4.26)
\[
a_{n}(m, q)=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int d \theta d I \exp (-i m \theta-i q I) W\left(I, \theta, n \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right) .
\]
Для $n=0$ положим
\[
\begin{array}{c}
W=\delta\left(I-I_{0}\right) \delta\left(\theta-\theta_{0}\right), \\
a_{0}=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \exp \left(-i q I_{0}-i m \theta_{0}\right) .
\end{array}
\]
При $n>0$, подставляя (5.4.24) в (5.4.30), получаем
\[
\begin{array}{c}
a_{n}(m, q)=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int d \theta d I \exp (-i m \theta-i q I) \times \\
\times \int d \theta^{\prime} d I^{\prime} \delta\left(I-I^{\prime}-K \sin \theta^{\prime}\right) \delta\left(\theta-\theta^{\prime}-I^{\prime}-K \sin \theta^{\prime}\right) \times \\
\times \int d q^{\prime} \sum_{m^{\prime}} \exp \left(i m^{\prime} \theta^{\prime}+i q^{\prime} I^{\prime}\right) a_{n-1}\left(m^{\prime}, q^{\prime}\right) .
\end{array}
\]
Интегрируя по $\theta$ и $I^{\prime}$, находим
\[
\begin{array}{l}
a_{n}(m, q)=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \sum_{m^{\prime}} i d q^{\prime} d \theta^{\prime} d I a_{n-1}\left(m^{\prime}, q^{\prime}\right) \times \\
\times \exp \left[-i m\left(\theta^{\prime}+I\right)-i q I+i q^{\prime}\left(I-K \sin \theta^{\prime}\right)+i m^{\prime} \theta^{\prime}\right] .
\end{array}
\]
Интегрирование по $I$ дает
\[
2 \pi \delta\left(-m-q+q^{\prime}\right)
\]
что позволяет взять интеграл по $q^{\prime}$ :
\[
\begin{array}{r}
a_{n}(m, q)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{m^{\prime}}\left[d \theta^{\prime} a_{n-1}\left(m^{\prime}, \tilde{q}\right) \times\right. \\
\times \exp \left[i\left(m^{\prime}-m\right) \theta^{\prime}-i \tilde{q} K \sin \theta^{\prime}\right],
\end{array}
\]
где
\[
\tilde{q}=q+m .
\]
Используя разложение
\[
\exp \left(\tilde{i} K \sin \theta^{\prime}\right)=\sum_{l=-\infty}^{\infty} f_{l}(|\tilde{q}| K) \exp \left(i l \theta^{\prime} \operatorname{sgn}(\tilde{q})\right),
\]
где $\operatorname{sgn}(x)=1$ для $x \geqslant 0$ и $\operatorname{sgn}(x)=-1$ для $x<0$, а $f_{l}$ – функция Бесселя, получаем после интегрирования по $\theta^{\prime}$
$a_{n}(m, q)=\sum_{l, m}, \mathcal{f}_{l}(|\tilde{q}| K) \delta_{k}\left(m^{\prime}-m-l \operatorname{sgn}(\tilde{q})\right) a_{n-1}\left(m^{\prime}, \tilde{q}\right) .(5.4 .37 a)$ Здесь $\delta_{k}(m)=1$ при $m=0$ и $\delta_{k}(m)=0$ при $m
eq 0$. Проведя суммирование по $m^{\prime}$, находим рекуррентные соотношения:
\[
\begin{aligned}
a_{n}\left(m_{n}, q_{n}\right) & =\sum_{l_{n}} \mathcal{J}_{l}\left(\left|q_{n-1}\right| K\right) a_{n-1}\left(m_{n-1}, q_{n-1}\right), \\
m_{n} & \left.=m_{n-1}-l_{n} \operatorname{sgn}\left(q_{n-1}\right) \quad \text { [из } \delta_{k} \text { в }(5.4 .37 \mathrm{a})\right], \\
q_{n} & =q_{n-1}-m_{n} \quad \text { [из (5.4.36)]. }
\end{aligned}
\]
Итерируя (5.4.37б) $n$ раз, получаем выражение для $a_{n}$ через $a_{n}$ :
\[
a_{n}\left(m_{n}, q_{n}\right)=\sum_{l_{n}, \ldots, l_{1}} \mathscr{F}_{l_{n} \mathscr{F}_{l_{n-1}}} \cdot . \mathcal{F}_{l_{1}} a_{0}\left(m_{0}, q_{0}\right) .
\]
Фурье-траектории. Согласно (5.4.38), набор $n$ целых чисел $\left\{l_{n}, \ldots, l_{1}\right\}$ определяет некоторую траекторию на плоскости Фурье ( $m, q$ ). Из (5.4.29) следует, что в коэффициент диффузии $D_{n}$ дают вклад только те из них, которые оканчиваются в точке $m_{n}=0$ и $q_{n}=0$. Типичная траектория показана на рис. 5.12 , $a$.
Аргументы функций Бесселя равны $K\left|q_{i}\right|$, и если $q_{i}
eq 0$, то при $K \rightarrow \infty \mathscr{g}_{l} \sim K^{-1 / 2}$. Поэтому при больших $K$ основной вклад \{ают члены с $q_{i} \rightarrow 0$. Наибольший ${ }^{1}$ ) из них соответствует всем $l_{i}=0$. Согласно (5.4.38), его фурье-траектория длины $n$ является неподвижной точкой вблизи начала координат (рис. 5.12, б). В этом стучае
\[
a_{n}(0, q)=\frac{1}{(2 \pi)^{2}}\left[\mathscr{J}_{0}(K q)\right]^{n} e^{-i q I_{0}} .
\]
Рис. 5.12. Фурье-траектории.
$a$ – типичная траектория, оканчивающяяя в точке $(m, q)=(0, \div 0) ; 6-\ldots$ квазилинейпая пеподвижная точка $(0,+0)$; $\varepsilon$ – траектория поправки поряда $K^{-12}$; ектории поиравок порядка $K^{-1}$. Числа в скобках указывают значения $l_{n}$ в соответствующих точках ( $m, q$ ).
Подставляя это выражение в (5.4.29) и разлагая $\mathscr{F}_{0}$ до квадратичных членов, получим при $n \gg 1$
\[
D_{n}=D_{1}=\frac{K^{2}}{4},
\]
т. е. квазилинейный результат (5.4.21б) ${ }^{2}$ ).
1) Это не очевидно заранее из-за взятия производной в (5.4.29). Поэтому необходимо проанализировать также члены с $l=1$ и $l=2$ (см. ниже).Прим. ред.
2) Формально он не зависит от $n$, однако выражение (5.4.29) получено в предположении $n \gg 1 .-П р и м$. ред.
Для вычисления поправок к этому значению рассмотрим другие фурье-траектории. Главные топравки соответствуют траекториям, наименее уклоняющимся от начала координат. Имеются две траектории, возвращающиеся в начало координат через три шага ${ }^{1}$ ), начиная с произвольного номера $r$. Из (5.4.38) ${ }^{2}$ ) имеем $m_{1}+m_{2}=0$ или $m_{1}= \pm 1 ; m_{2}=\mp 1$. Первая из траекторий показана на рис. 5.12, в. Значения $l$ для $q_{r}=0^{+}$получаются из (5.4.38a) и указаны на рисунке. Вклад этой сраектории в величину $a_{n}$ определяется из (5.4.39):
\[
\begin{array}{c}
a_{n}=\frac{1}{(2 \pi)^{2}}\left[\mathscr{F}_{0}(K q)\right]^{n-3} \mathcal{F}_{-1}\left(K\left|q_{r}\right|\right) \times \\
\times \mathscr{F}_{-2}\left(K\left|q_{r+1}\right| \mathscr{F}_{-1}\left(K\left|q_{r+2}\right|\right) e^{-i q I_{0}} .\right.
\end{array}
\]
Учитывая, что $\left|q_{r}\right|=\left|q_{r+2}\right|=q$ и $\left|q_{r+1}\right|=1$, получаем
\[
a_{n}=\frac{1}{(2 \pi)^{2}}\left[\mathscr{F}_{0}(K q)\right]^{n-3}\left[\mathscr{F}_{1}(K q)\right]^{2} \mathscr{F}_{2}(K) e^{-i q I_{0}} .
\]
Вторая траектория получается. поворотом первой (рис. 5.12, в) на $180^{\circ}$ и дает точно такой же вктад в $a_{n}$. Для больших $n$ существует $2 n$ траекторий, соответствующих $r=1,2, \ldots, n_{0}$. Суммируя их вклады и оставляя в разложении (5.4.41) по $q$ только члены с $q^{2}$, находим
\[
a_{n}(0, q)=\frac{2 n}{(2 \pi)^{2}} \frac{K^{2} q^{2}}{4} \mathscr{F}_{2}(K) .
\]
Вместе с (5.4.40) это дает
\[
D_{n}=\frac{K^{2}}{2}\left[\frac{1}{2}-\mathcal{F}_{2}^{\prime}(K)\right] .
\]
В пределе больших $K$ и $n$ второй член дает малую поправку к квазилинейному приближению. Действительно, из асимптотического представления $\mathscr{F}_{2}(K)$
\[
D_{n}=\frac{K^{2}}{2}\left[\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{2}{\pi K}} \cos \left(K-\frac{5 \pi}{4}\right)\right]
\]
видно, что поправка имеет порядок $K^{-1 / 2}$.
Аналогичным образом можно найти траектории, дающие поправки $\sim K^{-1}$. К ним относятся траектории на рис. 5.12, 2, д, e, получающиеся из них поворотом на $180^{\circ}$. Окончательный результат с точностью до поправок порядка $K^{-1}$ включительно имеет вид
\[
D_{n}=\frac{K^{2}}{2}\left\lfloor\frac{1}{2}-\mathcal{J}_{2}(K)+\mathfrak{F}_{2}^{2}(K)+\mathcal{F}_{3}^{2}(K)-\mathcal{J}_{1}^{2}(K)\right] .
\]
1) Из (5.4.38) легко видеть, что возврат через два шага невозможен.Прим. ред.
2) Траектории с $\left|m_{1}\right|>1$ дают меньшие поправки.
Он был получен Речестером и Уайтом [345] (без члена $\left.\mathscr{F}_{2}^{2}\right)^{1}$ ). Заметим также, что разность $\mathscr{F}_{3}^{2}-\mathscr{F}_{1}^{2}$ имеет порядок $K^{-2}$ и превышает точность (5.4.45).
Речестер и Уайт получили также численную зависимость коэффициента $D_{50}$ от $K$ по 3000 траекторий. Их результаты представ-
Рис. 5.13. Зависимость скорости диффузии $D / D_{1}$ от параметра $K$ стандартного отображения (по данным работы [345]).
Точки – численный эксперимент; кривая – теория.
лены на рис. 5.13. Точки соответствуют численным значениям $D_{50}$, нормированным на квазилинейный коэффициент диффузии $K^{2 / 4}$. Сплошная кривая соответствует зависимости (5.4.45) без слагаемого $\left.{ }^{2}\right) \mathfrak{J}_{2}^{2}$. Осцилляции в зависимости $D(K)$ впервые были заме-
1) Эта ошибка была исправлена авторами в работе [346].- Прим. ред.
2) Для больших $K$ основной эффект от этого члена сводится к небольшому сдвигу кривой вверх. Отметим, что численный счет производился в присутствии малого внешнего шума (см. §5.5).
чены Чириковым [70]. Следует ожидать, что при $K<4$ роль областей устойчивости станет существенной и необходимо будет учитывать большее число фурье-траекторий. Для $K<1$ стохастические области ограничены и $D_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Чтобы сгладить сингулярности, связанные со сложной структурой фазовой плоскости, Речестер и Уайт ввели небольшой внешний шум, влияние которого мы рассмотрим в следуюцем параграфе. Можно надеяться, что такой подход обеспечит сходимость суммы по всем фурье-траекториям и позволит в принципе найти точное значение $D$. Здесь возникает, однако, другая трудность. Карни и соавторы [223] показали, что $D \rightarrow \infty$ для тех значений $K$, при которых существуют ускорительные режимы движения (см. п. 4.1б). Связано это с тем, что для некоторых начальных условий величина $I$ изменяется со временем монотонно, а не диффузионно, т. е. значительно быстpeе, и соотношение (5.4.45) становится неприменимым (см. также [54]) ${ }^{1}$ ). В стандартном отображении ускорительные режимы появляются при $K \geqslant 2 \pi$. Их влияние видно на рис. 5.13 как повышение $D$ вблизи нескольких первых максимумов. Аналогичные результаты были получены Кари и Мейсом [53] для другого отображения.
