В п. 5.46 коэффициенты переноса были получены в приближении хаотических фаз на одной итерации отображения $(\mathrm{\Delta }n=1)$. Однако, как было отмечено в п. 5.4а, уравнение ФПК справедливо
1) В оригинале — higher-order transport corrections (поправки высшего порядка к коэффициентам переноса) Принятый в переводе термин более явно отражает природу этих поправок. — Прим. перев.

только при $\mathrm{\Delta }n\gg n_c$, где $n_c$ — число итераций, за которое происходит перемешивание по фазе. Поэтому необходимо оценить поправки к коэффициентам переноса за счет корреляций на интервале $\mathrm{\Delta }n\sim n_c$.

Впервые такие поправки были получены для стандартного отображения Речестером и Уайтом [345] и другим методом Речестером и др. [346]. Однако их техника использует введение дополнительного внешнего шума, и мы отложим ее обсуждение до следующего параграфа. Қак показано в работе [3], эти же методы можно использовать и без введения шума.

Хотя такая техника применялась пока только к довольно простым системам типа стандартнсго отображения, она является весьма интересной, и мы изложим ее достаточно подробно, следуя Абарбанелю. Он показал также $\mid 2]$, что этот же метод можно применить к задаче о взаимодействғи частицы с волной большой амплитуды (п. 2.2б). Поскольку, как обсуждалось в п. 4.16 (см. также [272]), стандартное отображение токально описывает широкий класс систем, можно надеяться, что полученные для него результаты будут качественно применимы и в более общем случае.

Представление Фурье. Для одной итерации стандартного отображения
$$\mathrm{\Delta }{I}_1=K\sin {\theta }_0$$

и коэффициенты переноса равны
$$\begin{array}{l}{F}_1=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{\Delta }{I}_{1}d{\theta }_0=0,\\ D_1=\frac{D}{2}=\frac{1}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }{\left(\mathrm{\Delta }{I}_1\right)}^{2}d{\theta }_0=\frac{K^2}{4}.\end{array}$$

Это приближение часто называют квазилинейным ${}^1$ ).
Для получения корреляционных поправок вычислим коэффициент диффузии
$$D_n=\frac{{⟨{\left(\mathrm{\Delta }{I}_n\right)}^2⟩}_{I_n,{\theta }_n}}{2n}.$$

Введем вероятность $W$ перехода $I_0,{\theta }_0\to I_n,{\theta }_n$ за $n$ итераций. Тогда
$$D_n=\frac{1}{2n}\int W(I_n,{\theta }_n,n\mid I_0,{\theta }_0,0){(I_n-I_0)}^{2}d{I}_{n}d{\theta }_n.$$
1) Множитель 1/2 в уравнении ФПК (5.4.5) включен здесь в определение квазилинейного коэффициента диффузии.

Нам потребуется свойство рекуррентности:
$$\begin{array}{c}W(I,\theta ,n\mid I_0,{\theta }_0,0)=\int d{I}^{\prime }d{\theta }^{\prime }W(I,\theta ,n\mid I^{\prime },{\theta }^{\prime },n-1)\times \\ \times W(I^{\prime },{\theta }^{\prime },n-1\mid I_0,{\theta }_0,0),\end{array}$$

где из уравнений отображения
$W(I,\theta ,n\mid I^{\prime },{\theta }^{\prime },n-1)=\delta (I-I^{\prime }-K\sin {\theta }^{\prime })\delta (\theta -{\theta }^{\prime }-I^{\prime }-K\sin {\theta }^{\prime })$.

Вычисление $D_n$ непосредственно из (5.4.23) — (5.4.25) быстро становится слишком громоздким. Такую процедуру можно провести для $n=2$; она приводит к интересным осцилляциям $D_2$ в зависимости от $I_0$, хотя и не ясно, какое значение мог бы иметь этот эффект. Для больших $n$ необходимо найти метод, который становился бы проще с ростом $n$. Как мы увидим, это можно сделать с помощью фурье-представления.
Представим $W$ в виде ряда Фурье по $\theta$ и интеграла Фурье по $I$ :
$$W(I,\theta ,n\mid I_0,{\theta }_0,0)=\sum _m\int dq\exp (im\theta +iqI)a_n(m,q),$$

где коэффициенты $a_n$ зависят также от $I_0$ и ${\theta }_0$.
Нас интересует значение $D_n$ при больших $n$. Поскольку $I_n$ растет как $\sqrt{n}$, то для $n\gg 1$ в (5.4.23) можно сохранить только член с $I_n^2$ :
$$D_n=\frac{1}{2n}\int d\theta dI{I}^{2}W(I,\theta ,n\mid I_0,{\theta }_0,0).$$

После подстановки (5.4.26) в (5.4.27) и интегрирования по $\theta$ остается только член с $m=0$. Замена $I^2$ на $-{\partial }^2{e}^{iqI}/\partial q^2$ и двойное интегрирование по частям (по $q$ ) приводит к выражению
$$D_n=-\frac{2\pi }{2n}\int dqdI{e}^{iqI}\frac{{\partial }^2}{\partial q^2}[a_n(0,q)].$$

Интеграл по $I$ дает $2\pi \delta (q)$. После интегрирования по $q$ получаем
$$D_n=-{\frac{4{\pi }^2}{2n}\frac{{\hat{o}}^2{a}_n(0,q)}{\partial q^2}|}_{q=0}.$$

Выведем теперь рекуррентное соотношение для $a_n$, которое потребуется нам для вычисления (5.4.29). Из (5.4.26)
$$a_n(m,q)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int d\theta dI\exp (-im\theta -iqI)W(I,\theta ,n\mid I_0,{\theta }_0,0).$$

Для $n=0$ положим
$$\begin{array}{c}W=\delta (I-I_0)\delta (\theta -{\theta }_0),\\ a_0=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\exp (-iq{I}_0-im{\theta }_0).\end{array}$$

При $n>0$, подставляя (5.4.24) в (5.4.30), получаем
$$\begin{array}{c}{a}_n(m,q)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\int d\theta dI\exp (-im\theta -iqI)\times \\ \times \int d{\theta }^{\prime }d{I}^{\prime }\delta (I-I^{\prime }-K\sin {\theta }^{\prime })\delta (\theta -{\theta }^{\prime }-I^{\prime }-K\sin {\theta }^{\prime })\times \\ \times \int d{q}^{\prime }\sum _{m^{\prime }}\exp (i{m}^{\prime }{\theta }^{\prime }+i{q}^{\prime }{I}^{\prime })a_{n-1}(m^{\prime },q^{\prime }).\end{array}$$

Интегрируя по $\theta$ и $I^{\prime }$, находим
$$\begin{array}{l}{a}_n(m,q)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\sum _{m^{\prime }}id{q}^{\prime }d{\theta }^{\prime }dI{a}_{n-1}(m^{\prime },q^{\prime })\times \\ \times \exp [-im({\theta }^{\prime }+I)-iqI+i{q}^{\prime }(I-K\sin {\theta }^{\prime })+i{m}^{\prime }{\theta }^{\prime }].\end{array}$$

Интегрирование по $I$ дает
$$2\pi \delta (-m-q+q^{\prime })$$

что позволяет взять интеграл по $q^{\prime }$ :
$$\begin{array}{r}{a}_n(m,q)=\frac{1}{2\pi }\sum _{m^{\prime }}[d{\theta }^{\prime }{a}_{n-1}(m^{\prime },\tilde{q})\times \\ \times \exp [i(m^{\prime }-m){\theta }^{\prime }-i\tilde{q}K\sin {\theta }^{\prime }],\end{array}$$

где
$$\tilde{q}=q+m.$$

Используя разложение
$$\exp (\tilde{i}K\sin {\theta }^{\prime })=\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_l(|\tilde{q}|K)\exp (il{\theta }^{\prime }\mathrm{sgn}(\tilde{q})),$$

где $\mathrm{sgn}(x)=1$ для $x⩾0$ и $\mathrm{sgn}(x)=-1$ для $x<0$, а $f_l$ — функция Бесселя, получаем после интегрирования по ${\theta }^{\prime }$
$a_n(m,q)=\sum _{l,m},{\mathcal{f}}_l(|\tilde{q}|K){\delta }_k(m^{\prime }-m-l\mathrm{sgn}(\tilde{q}))a_{n-1}(m^{\prime },\tilde{q}).(5.4.37a)$ Здесь ${\delta }_k(m)=1$ при $m=0$ и ${\delta }_k(m)=0$ при $meq0$. Проведя суммирование по $m^{\prime }$, находим рекуррентные соотношения:
$$\begin{array}{rl}{a}_n(m_n,q_n)& =\sum _{l_n}{\mathcal{J}}_l\left(\left|q_{n-1}\right|K\right)a_{n-1}(m_{n-1},q_{n-1}),\\ m_n& =m_{n-1}-l_n\mathrm{sgn}\left(q_{n-1}\right)\text{ [из }{\delta }_k\text{ в }(5.4.37\mathrm{a})],\\ q_n& =q_{n-1}-m_n\text{ [из (5.4.36)]. }\end{array}$$

Итерируя (5.4.37б) $n$ раз, получаем выражение для $a_n$ через $a_n$ :
$$a_n(m_n,q_n)=\sum _{l_n,\dots ,l_1}{\mathcal{F}}_{l_n{\mathcal{F}}_{l_{n-1}}}\cdot .{\mathcal{F}}_{l_1}{a}_0(m_0,q_0).$$

Фурье-траектории. Согласно (5.4.38), набор $n$ целых чисел $\{l_n,\dots ,l_1\}$ определяет некоторую траекторию на плоскости Фурье ( $m,q$ ). Из (5.4.29) следует, что в коэффициент диффузии $D_n$ дают вклад только те из них, которые оканчиваются в точке $m_n=0$ и $q_n=0$. Типичная траектория показана на рис. 5.12 , $a$.

Аргументы функций Бесселя равны $K\left|q_i\right|$, и если $q_{i}eq0$, то при $K\to \mathrm{\infty }{\mathcal{g}}_l\sim K^{-1/2}$. Поэтому при больших $K$ основной вклад \{ают члены с $q_i\to 0$. Наибольший ${}^1$ ) из них соответствует всем $l_i=0$. Согласно (5.4.38), его фурье-траектория длины $n$ является неподвижной точкой вблизи начала координат (рис. 5.12, б). В этом стучае
$$a_n(0,q)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}{[{\mathcal{J}}_0(Kq)]}^n{e}^{-iq{I}_0}.$$

Рис. 5.12. Фурье-траектории.
$a$ — типичная траектория, оканчивающяяя в точке $(m,q)=(0,÷0);6-\dots$ квазилинейпая пеподвижная точка $(0,+0)$; $\epsilon$ — траектория поправки поряда $K^{-12}$; ектории поиравок порядка $K^{-1}$. Числа в скобках указывают значения $l_n$ в соответствующих точках ( $m,q$ ).
Подставляя это выражение в (5.4.29) и разлагая ${\mathcal{F}}_0$ до квадратичных членов, получим при $n\gg 1$
$$D_n=D_1=\frac{K^2}{4},$$
т. е. квазилинейный результат (5.4.21б) ${}^2$ ).
1) Это не очевидно заранее из-за взятия производной в (5.4.29). Поэтому необходимо проанализировать также члены с $l=1$ и $l=2$ (см. ниже).Прим. ред.
2) Формально он не зависит от $n$, однако выражение (5.4.29) получено в предположении $n\gg 1.-Прим$. ред.

Для вычисления поправок к этому значению рассмотрим другие фурье-траектории. Главные топравки соответствуют траекториям, наименее уклоняющимся от начала координат. Имеются две траектории, возвращающиеся в начало координат через три шага ${}^1$ ), начиная с произвольного номера $r$. Из (5.4.38) ${}^2$ ) имеем $m_1+m_2=0$ или $m_1=\pm 1;m_2=\mp 1$. Первая из траекторий показана на рис. 5.12, в. Значения $l$ для $q_r=0^{+}$получаются из (5.4.38a) и указаны на рисунке. Вклад этой сраектории в величину $a_n$ определяется из (5.4.39):
$$\begin{array}{c}{a}_n=\frac{1}{(2\pi {)}^2}{[{\mathcal{F}}_0(Kq)]}^{n-3}{\mathcal{F}}_{-1}\left(K\left|q_r\right|\right)\times \\ \times {\mathcal{F}}_{-2}(K\left|q_{r+1}\right|{\mathcal{F}}_{-1}\left(K\left|q_{r+2}\right|\right)e^{-iq{I}_0}.\end{array}$$

Учитывая, что $\left|q_r\right|=\left|q_{r+2}\right|=q$ и $\left|q_{r+1}\right|=1$, получаем
$$a_n=\frac{1}{(2\pi {)}^2}{[{\mathcal{F}}_0(Kq)]}^{n-3}{[{\mathcal{F}}_1(Kq)]}^2{\mathcal{F}}_2(K)e^{-iq{I}_0}.$$

Вторая траектория получается. поворотом первой (рис. 5.12, в) на ${180}^{\circ }$ и дает точно такой же вктад в $a_n$. Для больших $n$ существует $2n$ траекторий, соответствующих $r=1,2,\dots ,n_0$. Суммируя их вклады и оставляя в разложении (5.4.41) по $q$ только члены с $q^2$, находим
$$a_n(0,q)=\frac{2n}{(2\pi {)}^2}\frac{K^2{q}^2}{4}{\mathcal{F}}_2(K).$$

Вместе с (5.4.40) это дает
$$D_n=\frac{K^2}{2}[\frac{1}{2}-{\mathcal{F}}_2^{\prime }(K)].$$

В пределе больших $K$ и $n$ второй член дает малую поправку к квазилинейному приближению. Действительно, из асимптотического представления ${\mathcal{F}}_2(K)$
$$D_n=\frac{K^2}{2}[\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{2}{\pi K}}\cos (K-\frac{5\pi }{4})]$$

видно, что поправка имеет порядок $K^{-1/2}$.
Аналогичным образом можно найти траектории, дающие поправки $\sim K^{-1}$. К ним относятся траектории на рис. 5.12, 2, д, e, получающиеся из них поворотом на ${180}^{\circ }$. Окончательный результат с точностью до поправок порядка $K^{-1}$ включительно имеет вид
$$D_n=\frac{K^2}{2}\lfloor \frac{1}{2}-{\mathcal{J}}_2(K)+{\mathfrak{F}}_2^2(K)+{\mathcal{F}}_3^2(K)-{\mathcal{J}}_1^2(K)].$$
1) Из (5.4.38) легко видеть, что возврат через два шага невозможен.Прим. ред.
2) Траектории с $\left|m_1\right|>1$ дают меньшие поправки.

Он был получен Речестером и Уайтом [345] (без члена ${{\mathcal{F}}_2^2)}^1$ ). Заметим также, что разность ${\mathcal{F}}_3^2-{\mathcal{F}}_1^2$ имеет порядок $K^{-2}$ и превышает точность (5.4.45).

Речестер и Уайт получили также численную зависимость коэффициента $D_{50}$ от $K$ по 3000 траекторий. Их результаты представ-

Рис. 5.13. Зависимость скорости диффузии $D/D_1$ от параметра $K$ стандартного отображения (по данным работы [345]).
Точки — численный эксперимент; кривая — теория.
лены на рис. 5.13. Точки соответствуют численным значениям $D_{50}$, нормированным на квазилинейный коэффициент диффузии $K^{2/4}$. Сплошная кривая соответствует зависимости (5.4.45) без слагаемого ${}^2){\mathfrak{J}}_2^2$. Осцилляции в зависимости $D(K)$ впервые были заме-
1) Эта ошибка была исправлена авторами в работе [346].- Прим. ред.
2) Для больших $K$ основной эффект от этого члена сводится к небольшому сдвигу кривой вверх. Отметим, что численный счет производился в присутствии малого внешнего шума (см. §5.5).

чены Чириковым [70]. Следует ожидать, что при $K<4$ роль областей устойчивости станет существенной и необходимо будет учитывать большее число фурье-траекторий. Для $K<1$ стохастические области ограничены и $D_n\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$. Чтобы сгладить сингулярности, связанные со сложной структурой фазовой плоскости, Речестер и Уайт ввели небольшой внешний шум, влияние которого мы рассмотрим в следуюцем параграфе. Можно надеяться, что такой подход обеспечит сходимость суммы по всем фурье-траекториям и позволит в принципе найти точное значение $D$. Здесь возникает, однако, другая трудность. Карни и соавторы [223] показали, что $D\to \mathrm{\infty }$ для тех значений $K$, при которых существуют ускорительные режимы движения (см. п. 4.1б). Связано это с тем, что для некоторых начальных условий величина $I$ изменяется со временем монотонно, а не диффузионно, т. е. значительно быстpeе, и соотношение (5.4.45) становится неприменимым (см. также [54]) ${}^1$ ). В стандартном отображении ускорительные режимы появляются при $K⩾2\pi$. Их влияние видно на рис. 5.13 как повышение $D$ вблизи нескольких первых максимумов. Аналогичные результаты были получены Кари и Мейсом [53] для другого отображения.