Для получения стационарного решения уравнения ФПК введем полностью отражающие стенки при $u=0$ и $u=u_{s}$. Буквально, это, конечно, неправильно из-за проникновения траекторий в область $u>u_{s}$. Однако поскольку этот процесс происходит медленно, то можно ожидать, что для значений $u$, достаточно малых по сравнению с $u_{s}$, решение с выбранными граничными условиями будет близко к истинному. Положив в (5.4.5) $\partial / \partial n=0$, найдем решение в виде
\[
P(u)=P\left(u_{0}\right) D\left(u_{0}\right) D^{-1}(u) \exp \int_{u_{0}}^{u} 2 B\left(u^{\prime}\right) D^{-1}\left(u^{\prime}\right) d u^{\prime} .
\]

Для $B=0$ и $D=1 / 12$ распределение оказывается однородным $P(u)=$ const, а для $B=(24 u)^{-1}: x=1 / 12$ – линейным: $P(u)=C u$. Эти результаты согласуются с численными экспериментами Либермана и Лихтенберга ([274 ], рис. 12) и Израйлева и Ждановой, ([209], рис. 3). На рис. 5.11 представлены численные результаты [274] для упрощенного (сплошная кривая) и точного (пунктирная кривая) отображений Улама с $f=\psi-1 / 2$. Отклонения распределений от ожидаемых в области $u<u_{\mathrm{s}}=M^{1 / 2} / 2 \approx 16$ связаны с недостаточной для установления квазиравновесного состояния длительностью счета, а также с просачиванием траекторий в область больших скоростей. С ростом $u\left(u>u_{s}\right.$ ) островки устойчивости быстро становятся преобладающими. Для точного отображения при переходе к каноническим переменным $E, \theta$ получаем однородное распределение $\bar{P}(E)=P(u)(d u / d E)=$ const.

В некоторых случаях можно также найти решение и нестационарного уравнения ФПК. Для упрощенного отображения Улама $D=1 / 12, B=0$ и (5.4.5) переходит в обычное диффузионное уравнение
\[
\frac{\partial P}{\partial n}=\frac{1}{24} \frac{\partial^{2} P}{\partial u^{2}} .
\]
1) Небольшое различие между $D=1 / 12$ и точным выражением $D=$ $=1 / 12+3 / 320 E[$ [см. (5.4.15)] есть поправка второго порядка к скорости диффузии опять-таки из-за неканоничности переменных $u, \psi$ в (3.4.1). Обычно такая поправка не учитывается.- Прим. ред.

В с.тучае точного отображения, подставляя в $(5.4 .5) D=1 / 12$, $B=(24 u)^{-1}$, получаем
\[
\frac{\partial P}{\partial n}=\frac{1}{24} \frac{\partial}{\partial u}\left[u \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{P}{u}\right)\right] .
\]

Решение этого уравнения с начальным условием $P(u, 0)=\delta(u)$ имеет вид
\[
P(u, n)=\frac{12 u}{n} \exp \left(-\frac{6 u^{2}}{n}\right) \text {. }
\]

Оно справедливо, конечно, тишь до тех пор, пока траектории не начнут проникать в область $u>u_{s}$. Решение полной задачи с учетом переходной области с островками устойчивости оказывается очень сложным, и его можно получить только численно.

Хотя рассмотренная задача представляет сильно идеализированную модель, аналогичные результаты можно найти и для реальных динамических систем. Примером может служить задача об электрон-циклотронном нагреве в магнитных ловушках. Она подробно исследована Егером и др. [212] и Либерманом и Лихтенбергом $[275]$. Было показано,
Рис. 5.11. Сравнение распределений по скорости $P(u)$ (по данным работы [274]). Сплошная кривая – упрощенное отображение Улама (3.4.4): пунктирная кривал – точное отображение Улама (3.4.1); $M=10^{\circ}$.

что нагрев можно приближенно списать системой уравнений, анаэогичной (3.4.8).