Рассмотрим неподвижные точки квадратичного отображения (7.2.4) и их линейную устойчивость. Неподвижные точки находятся из условия:
\[
x_{1}=2 C x_{1}+2 x_{1}^{2}
\]

которое соответствует пересечению кривой $f(x)$, определяемой (7.2.4б), и прямой $f=x$. Решение (7.2.12) имеет два корня:
\[
x_{10}=0, \quad x_{11}=\frac{1}{2}-C \text {. }
\]

Устойчивость неподвижных точек определяется из линеаризованного отображения ( $\$ 3.3$ ). Подстазляя
\[
x_{n}=x_{1}+\Delta x_{n}
\]

в (7.2.4) и удерживая только линейные члены, получаем
\[
\Delta x_{n}=\hat{\lambda}_{1}^{n} \Delta x_{0},
\]

где собственное значение $\lambda_{1}=f^{\prime}\left(x_{1}\right)$. Следовательно, $x_{1}$ – устойчивая (притягивающая) неподвижная точка, если $\left|\lambda_{1}\right|<1$, и неустойчивая (отталкивающая), если $\left|\lambda_{1}\right|>1$. Отсюда следует, что точка $x_{11}$ устойчива при
\[
\left|f^{\prime}\left(x_{11}\right)\right|=|2–2 C|<1,
\]

или для $1 / 2<C<3 / 2$. Аналогичғо неподвижная точка $x_{10}$ устойчива при
\[
\left|f^{\prime}\left(x_{10}\right)\right|=|2 C|<1,
\]

или для $-1 / 2<C<1 / 2$.
Бифуркации. Рассмотрим устойчивость отображения при уменьшении параметра $C$, начиная с некоторого $C>1 / 2$, когда точка $x_{11}$ устойчива, а $x_{10}$ неустойчива. При $C_{0}=1 / 2$ точка $x_{11}$ становится неустойчивой, а $x_{10}$ – устойчивой. При дальнейшем уменьшении $C$ вплоть до $C=C_{1}=-1 / 2$ точка $x_{10}$ остается устойчивой.

Чтобы понять, что происходит при $C<-1 / 2$, нужно рассмотреть периодические точки периода 2 , которые находятся из условия:
\[
x_{2}=f\left(f\left(x_{2}\right)\right) .
\]

Это соответствует пересечению кривой
\[
f_{2}(x)=\mp(f(x))
\]

с прямой $f=x$, как показано на рис. $7.11, a$ и б для $C>-1 / 2$ и $C<-1 / 2$ соответственно. Если $C>-1 / 2$, то оба пересечения соответствуют неподвижным точкам $x_{11}=1 / 2-$ и $x_{10}=0$, которые, очевидно, удовлетворяют и (7.2.16). В этом случае наклон $f_{2}(x)$ в нуле меньше единицы, так как
\[
f_{2}^{\prime}\left(x_{13}\right)=\lambda_{1}^{2} \text {, }
\]

а $\left|\lambda_{1}\right|<1$ для $C>-1 / 2$. Если же параметр $C$ становится меньше – $1 / 2$, то наклон увеличивается и рождается пара неподвижных точек отображения $f_{2}$ (или периодических точек отображения $f$,

Рис. 7.11. Возникновение двух неподвижных точек $x_{2}$ с п периодом 2 для квадратичного отображения.
\[
\left.f_{2}(x)=f(f(x)): a\right) \quad C>-1 ; 2 ; \text { b) } C<-1,2 \text {. }
\]

рис. 7.11, б). Они удовлетворяют условиям
\[
\begin{array}{l}
x_{2+}=f\left(x_{2-}\right)=f_{2}\left(x_{2+}\right), \\
x_{2-}=f\left(x_{2+}\right)=f_{2}\left(x_{2-}\right) .
\end{array}
\]

Позже мы получим явные выражения для $x_{2+}$ и $x_{2-}$ как функций параметра $C$.

Устойчивость $x_{2 \pm}$ можно исстедовать, как обычно, с помощью замены $x_{2, n}=x_{2 \pm}+\Delta x_{2, n}$ и линеаризации отображения. Для точки $x_{2-}$ находим
\[
\Delta x_{2, n}=\lambda_{2-}^{n} \Delta x_{0},
\]

где
\[
\lambda_{2-}=f_{2}^{\prime}\left(x_{2-}\right)=f^{\prime}\left(x_{2-}\right) f^{\prime}\left(x_{2+}\right) .
\]

Аналогично для $x_{2+}$ :
\[
\lambda_{2+}=f^{\prime}\left(x_{2+}\right) f^{\prime}\left(x_{2-}\right)=\lambda_{2-} .
\]

Видно, что наклоны (собственные значения) одинаковы для обеих точек. Как отмечено в п. 3.За, для канонических отображений
это свойство является общим для неподвижных точек любого периода.

Из рис. 7.11, б следует, что если значение $C$ чуть меньше $C_{1}=$ $=-1 / 2$, то $\left|\lambda_{2}\left(x_{2-}\right)\right|=\left|\lambda_{2}\left(x_{2+}\right)\right|<1$. Таким образом, как только неподвижная точка периода 1 становится неустойчивой, появляется пара устойчивых неподвижных точек с удвоенным периодом. Это явление иллюстрируется на рис. 7.12, где показана

Рис. 7.12. Положение неподвижных точек $x_{10}, x_{11}, x_{2}+$ и $x_{2-}$ в зависимости от $C$.
Устойчивые неподвижные точки представлены сплошными линиями, неустойчивые пунктирными. Показан также экстремум $f$ при $x^{*}=-C / 2$. $A$ – бифуркация удвоения; $A^{\prime}$ – зеркальная бифуркация удвоения,

зависимость координат неподвижных точек от параметра С. Сплошная линия обозначает устойчивость точки, а штриховая – неустойчивость. Рождение пары устойчивых точек удвоенного периода при $C<-1 / 2$ является примером бифуркации удвоения (см. §7.1). На рис. 7.2, в показана также зеркальная бифуркация удвоения, соответствуюцая зеркальному отображению (7.2.7).

При дальнейшем уменьшении параметра $C$ обе неподвижные точки периода 2 становятся неустойчивыми. Поскольку в их окрестности отображение $f_{2}(x)$ также квадратично, следует ожидать аналогичной бифуркации, при которой возникают четыре неподвижные точки периода 4 и т. д. Означает ли это, что при любом значении параметра имеется либо устойчивое решение, либо (устойчивая) бифуркация? Оказывается, что нет. Последовательность бифуркаций удвоения периода кончается, достигая бесконечного периода при конечном значении параметра $C=C_{\infty}$. За этим значением лежат области хаоса.

Метод ренормализации. Для более глубокого понимания явления последовательных бифуркаций рассмотрим ренормализацию отображения с одним максимумом при переходе от одной бифуркации к следующей. Строгая теория ренормализации $[83,122]$, применимая к любым отображениям с одним максимумом, основана на решении некоторых функциональных уравнений. Соответствующие математические методы сложны и выходят за рамки этой монографии. Вместо этого, следуя Хеллеману [180-182], мы используем более простой, хотя и менее общий, метод локальной аппроксимации отображения с одним квадратичным максимумом. Это позволяет построить приближенную теорию ренормализации на основе алгебраических, а не функциональных уравнений. Для квадратичного отображения (7.2.4), как мы видели выше, устойчивая неподвижная точка $x_{10}$ периода 1 возникает с уменьшением $C$ при $C=$ $=C_{0}=1 / 2$, а устойчивые точки периода 2 – при $C_{1}=-1 / 2$. Последние получаются из (7.2.18):
\[
x_{2 \pm}=a \pm b,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
2 a=-1 / 2-C \\
4 b^{2}=\left(C+\frac{1}{2}\right)\left(C-\frac{3}{2}\right), \quad b>0 .
\end{array}
\]

Подставляя
\[
x=x_{2 \pm}+\Delta x
\]

в (7.2.4), получаем
\[
\begin{array}{l}
\Delta x_{n+1}=d \Delta x_{n}+2 \Delta x_{n}^{2}, \\
\Delta x_{n+2}=e \Delta x_{n+1}+2 \Delta x_{n+1}^{2},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
d=2 C+4 x_{2+}, \\
e=2 C+4 x_{2-},
\end{array}
\]

и начальные условия выбираются таким образом, чтобы при четных $n$ величина $\Delta x$ была близка к $x_{2+}$, а при нечетных – к $x_{2-}$. Исключая $\Delta x_{n+1}$ и удерживая члены по $\Delta x$ до квадратичных включительно, получаем для четных $n$
\[
\Delta x_{n+2}=d e \Delta x_{n}+2\left(e+d^{2}\right) \Delta x_{n}^{2} .
\]

Путем изменения масштаба
\[
x^{\prime}=\alpha \Delta x
\]

приводим (7.2.24) к виду
\[
x_{n+2}^{\prime}=2 C^{\prime} x_{n}^{\prime}+2\left(x_{n}^{\prime}\right)^{2},
\]

где
\[
\begin{aligned}
C^{\prime} & =d e / 2=-2 C^{2}+2 C-2, \\
\alpha & =e+d^{2}=16 b^{2}-12 b,
\end{aligned}
\]

а $b$ определяется согласно (7.2.21Е). Так как (7.2.26) имеет тот же самый вид, что и исходное отображение (7.2.4), его неподвижные точки испытывают бифуркацию удвоения периода при $C^{\prime}=-1 / 2$. С учетом (7.2.27) это значение соответствует
\[
C=C_{2}=\frac{1-\sqrt{\epsilon}}{2} \approx-0,72474,
\]

при котором возникают неподвижные точки периода 4 . Из (7.2.21) следует, что $x_{2+} \approx 0,466$ и $x_{2-} \approx-0,241$ при $C=C_{2}$. Отметим, что точка $x_{2+}$ лежит вблизи экс.ремума $f$ при $x^{*}=-C 2$; этот факт мы используем ниже при нахождении закона подобия (7.2.36).

Последовательность бифуркаций сходится к. предельному значению $C^{\prime}=C=C_{\infty}$, которое находится из (7.2.27):
\[
-2 C_{\infty}^{2}+2 C_{\infty}+2=C_{\infty},
\]

отсюда
\[
C_{\infty}=\frac{1-\sqrt{17}}{4} \approx-0,781 .
\]

Численное моделирование дает $C_{\infty} \approx-0,78497$, что находится в хорошем согласии с результатом ренормализации.

Скорость сходимости $C$ к $C_{\infty}$ можно приближенно найти, предполагая, что асимптотически сходимость происходит по закону ${ }^{1}$ )
\[
C_{k} \approx C_{\infty}+A \delta^{-k} \text {. }
\]

Подставляя это выражение в (7.2.27) и замечая, что $k$-я бифуркация по $C^{\prime}$ соответствует ( $k+1$ )-й по $C$, т. е.
\[
C_{k}=-2 C_{k+1}^{2}+2 C_{k+1}+2,
\]

получаем
\[
\delta=-4 C_{\infty}+2=1+\sqrt{17} \approx 5,12 .
\]

Численное решение точного уравнения ренормализации, найденное впервые Фейгенбаумом [122], дает для отображения с одним квадратичным максимумом $\delta \approx 4,6692$. Закон подобия (7.2.30) можно представить в виде
\[
\frac{C_{k+1}-C_{k}}{C_{k}-C_{k-1}}=\frac{1}{\delta} .
\]

Постоянная $\delta$ не зависит от выбора параметра. Действительно,
1) Это предположение следует из (7.2.27); см. ниже.– Прим. ред.

введем новый параметр $P=g(C)$. Считая, что $g$ – обратимая функция, разложим $P(C)$ вблизи $C_{\infty}$ :
\[
P_{k}-P_{\infty}=g^{\prime}\left(C_{\infty}\right)\left(C_{k}-C_{\infty}\right) .
\]

Решая это уравнение относительно $C_{k}$ и подставіяя решение в (7.2.32), находим универсальное соотношение
\[
\frac{P_{k+1}-P_{k}}{P_{k}-P_{k-1}}=\frac{1}{\delta} .
\]

Фактически из точной теории ренормализации следует, что $\delta-$ универсальная константа для всех отображений с одним квадратичным максимумом. Принимая, чтс асимптотический закон (7.2.30) справедлив и для $k=0$ и $k=1$, получаем полезную оценку для предельного значения параметра (точки сгущения):
\[
P_{\infty}=P_{0}-\frac{\delta}{\delta-1}\left(P_{1}-P_{0}\right)=P_{0}+1,24\left(P_{1}-P_{0}\right),
\]

где использовано приближенное значение (7.2.31) для $\delta$.
Наконец, перейдем к параметру подобия $\alpha$, входящему в (7.2.25). Из (7.2.28) и (7.2.21в) при $C=C_{\infty}$ [см. (7.2.29)]:
\[
\alpha=16 b^{2}-12 b \approx-2,24 \text {. }
\]

Точная теория ренормализации дает $\alpha \approx-2,5029$. Параметр $\alpha$ определяет (асимптотически) изменение масштаба $x$ при последовательных бифуркациях. Иначе говоря, при увеличении в $\alpha$ раз вблизи $x^{*}=-C / 2$ очередная бифуркация будет выглядеть точно так же, как и предыдущая. В частности, расстояние между неподвижными точками при последовательных бифуркациях вблизи $x^{*}$ подчиняется закону подобия
\[
\frac{x_{k+}-x_{p_{-}}}{x_{k+1,+}-x_{k+1,-}}=\alpha .
\]

Это соотношение справедливо для ветви, идущей от $x_{k+}$.
Поскольку $f$ локально квадратичная функция $x$, то для первых итераций точек вблизи $x^{*}$ масштаб изменяется как $\alpha^{2}$. Отсюда
\[
\frac{f\left(x_{k+}\right)-f\left(x_{k-}\right)}{f\left(x_{k+1,+}\right)-f\left(x_{k+1,-}\right)}=\alpha^{2} .
\]

Потученное соотношение выполняется для значений $x_{k}$ на ветви, идущей от $x_{k-}$. Таким образом, для половины неподвижных точек периода $2^{k}$ масштаб изменяется как $\alpha$, а для остальных как $\alpha^{2}$ [см. (7.2.38)].

Рис. 7.13 поясняет это поведение. На рис. 7.13 , a отрезок $\Delta x_{1}$ вблизи минимума отображения переходит в отрезок $\left|\Delta x_{2}\right| \propto\left(\Delta x_{1}\right)^{2}$. Однако затем $\Delta x_{2}$ переходит в $\Delta x_{3}$ снова вблизи минимума, причем $\left|\Delta x_{3}\right| \propto\left|\Delta x_{2}\right|$. При каждом отображении знак $\Delta x$ изменяется. На рис. 7.13 , б показана полная структура неподвижных точек

Рис. 7.13. Иллюстрация масштабного преобразования по $x$ для квадратичного отображения.
$a$ – измененне начального $\Delta x_{1}$ вблизи экстремума; $\Delta x_{2} \sim\left(\Delta x_{1}\right)^{2}$, но $\Delta x_{3} \sim \Delta x_{2} ;$ б три первые бифуркации удвоения; порядок движения по траектории периода 4 и 8 показан в круглых скобках.

для трех первых бифуркаций. Цифры в круглых скобках показывают последовательность движения для траекторий с периодом 4 и 8 , начиная с верхней точки. Отметим также, что расстояния между соответствующими ветвями, идущими от $x_{k+}$ и от $x_{k-}$, отєличаются в $\alpha$ раз.

При любом обратимом преобразовании от $x$ к новой переменной y соотношения (7.2.36) и (7.2.37) сохраняются. Следовательно,

Рис. 7.14. Последовательность бифуркаций удвоения периода для квадратичного отображения в двойном лотарифмическом масштабе (по данным работы [417]).
По вертикальной оси отложены неподвижнне точки $x_{k}$ аттрактора пернода $2^{k}$, которыї образуетсяІри $C=C_{k}$ из аттрактора периода $2^{k-1}$. Видна неизменность скорости сходимости по $C$ и по $x$ (константы $\delta$ и $\alpha$ ).

константа $\alpha$ также является универсальной, в том же смысле, что и $\delta$.

Помимо последовательности бифуркаций, при уменьшении $C$ имеется зеркальная последовательность бифуркаций согласно $(7.2 .6)-(7.2 .8)$. Для нее $C$ увеличивается, начиная с $1 / 2$, и стремится к своей точке сгущения, которая определяется из (7.2.8) и $(7.2 .29)$ :
\[
\bar{C}_{\infty}=(3+\sqrt{17}) / 4 \approx 1,7808 .
\]

Для отображения (7.2.5) зеркальная последовательность бифуркаций приходится как раз на обычно рассматриваемый интервал $0<\mu<4$. Используя (7.2.8) и соотношение $\bar{\mu}=2 \bar{C}$, находим, что

первая бифуркация наступает при $\bar{\mu}_{1}=3$, а точка сгущения равна
\[
\bar{\mu}_{\infty}=(3+\sqrt{17}) / 2 \approx 3,5616,
\]

что хорошо согласуется с численным значением ${ }^{\circ} \bar{\mu}_{\infty}=3,5700$.
Существование бифуркаций удвоения очень большого периода демонстрируется на рис. 7.14, полученном с помощью численного моделирования квадратичного отсбражения [417]. Зависимость $x_{k}$ от $C$ отложена в двойном логарифмическом масштабе. Ясно видна постоянная скорость сходимости по $C$ и по $x$ (с параметрами $\delta$ и $\alpha$ соответственно).
Спектральнье свойства. При экспериментальном исследовании сложного движения широко используется его спектр Фурье. Ниже мы следуем анализу Фейгенбаума [123], который получил универсальный спектр одномерного отображения вблизи точки сгущения $C_{\infty}$.

Как известно, спектр периодического движения дискретный. Когда происходит бифуркация удвоения периода, в спектре появляются субгармоники основной частоты отображения. Для дальнейшего анализа введем непрерывное время $t$ и обозначим через $x^{(n)}(t)$ решение после $n$-й бифуркации, а через $T_{n}$ – его период. Чтобы найти спектр, нам нужно общее соотношение для положения аттракторов. Из рис. 7.13, б и пояснений в тексте следует, что ветви бифуркаций делятся на две группы, расстояния между которыми удовлетворяют рекуррєнтному соотношению:
\[
\begin{array}{l}
x^{(n+1)}(t)-x^{(n+1)}\left(t-+T_{n}\right) \approx \\
\approx\left[x^{(n)}(t)-x^{(n)}\left(t \div T_{n-1}\right)\right]\left\{\begin{array}{c}
\frac{1}{\alpha} \\
\frac{1}{\alpha^{2}}
\end{array}\right\}, \quad \begin{array}{r}
0 \leqslant t<T_{n-1}, \\
T_{n-1} \leqslant t<T_{n},
\end{array} \\
\end{array}
\]

где $t=0$ соответствует верхней неподвижной точке.
Для $l$-й фурье-амплитуды имеем
\[
X_{l}^{(n+1)}=\frac{1}{T_{n+1}} \int_{0}^{T_{n+1}} d t x^{(n+1)}(t) \exp \left(\frac{-2 \pi i l t}{T_{n+1}}\right) .
\]

С помощью сдвига на половину периода интегрирование можно провести по периоду $T_{n}$ :
\[
X_{l}^{(n+1)}=\frac{1}{2 T_{n}} \int_{0}^{T_{n}} d t\left[x^{(n+1)}(t)-(-1)^{l} x^{(n+1)}\left(t \div T_{n}\right)\right] \exp \left(\frac{-\pi i l t}{T_{n}}\right) .
\]

Для четных $l=2 k$ при $n \gg 1$
\[
x^{(n+1)}(t) \approx x^{(n+1)}\left(t+T_{n}\right) \approx x^{(n)}(t)
\]
[см. (7.2.38) и рис. 7.13 , б ], и из (7.2.39) получаем
\[
X_{2 k}^{(n+1)} \approx X_{k}^{(n)} \text {. }
\]

Это означает, что фурье-амплитуда для данной частоты остается неизменной при всех последующих бифуркациях. Для нечетных $l=2 k+1$ подстановка (7.2.38) в (7.2.39) дает
\[
\begin{aligned}
X_{l}^{(n+1)} & =\frac{1}{\alpha} \int_{0}^{T_{n-1}} F(t) \frac{d t}{2 T_{n}}+\frac{1}{\alpha^{2}} \int_{T_{n-1}}^{T_{n}} F(t) \frac{d t}{2 T_{n}}, \\
F(t) & =\left[x^{(n)}(t)-x^{(n)}\left(t+T_{n-1}\right)\right] \exp \left(\frac{-\pi i t t}{T_{n}}\right) .
\end{aligned}
\]

Сдвигая пределы во втором интеграле, имеем
\[
\begin{array}{c}
X_{l}^{(n+1)}=\frac{1}{2 \alpha}\left[1+i \frac{(-1)^{k}}{\alpha}\right] \int_{0}^{T} \frac{d t}{2 T_{n-1}}\left[x^{(n)}(t)-x^{(n)}\left(t+T_{n-1}\right)\right] \times \\
\times \exp \left(-\pi i \frac{t}{2} \frac{t}{T_{n-1}}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя сюда разложение Фурье
\[
x^{(n)}(t)=\sum_{k^{\prime}} X_{k^{\prime}}^{(n)} \exp \left(\frac{2 \pi i k^{\prime} t}{T_{n}}\right),
\]

получаем рекуррентное соотношение
\[
X_{2 k+1}^{(n+1)}=-\frac{1}{2 \alpha}\left(1-i(-1)^{k}\right)\left(1+\frac{i}{\alpha}(-1)^{k}\right) S,
\]

де
\[
S=\frac{1}{\pi i} \sum_{k^{\prime}} \frac{1}{\left(2 k^{\prime}+1\right)-\frac{1}{2}(2 k+1)} X_{2 k^{\prime}+1}^{(n)} .
\]

В пределе больших $n$, полагая $2 k+1=\xi$ и $2 k^{\prime}+1=\xi^{\prime}$ и заменяя сумму в (7.2.42) интегралом по $\xi^{\prime}$, находим
\[
|S| \approx \frac{1}{2}\left|X^{(n)}\left(\frac{\xi}{2}\right)\right| .
\]

Поэтому для амплитудного спектра вблизи точки сгущения выполняется универсальный закон подобия ${ }^{1}$ ):
\[
\left|X^{(n+1)}(\xi)\right|=\gamma^{-1}\left|X^{(n)}\left(\frac{\xi}{2}\right)\right|,
\]
rде
\[
\gamma^{-1}=\frac{1}{4|\alpha|}\left[2\left(1+\alpha^{-2}\right)\right]^{12} .
\]

Для приближенного значения (7.2.35) для $\alpha$ имеем $\gamma=5,79$; точное значение $\alpha=-2,5029$ дает $\gamma=6,57$.

Согласно (7.2.44), чтобы получить амплитуду новой гармоники (вдали от точки бифуркации), появившейся в результате $(n+1)$-й бифуркации, нужно взять уменьшенное в 6,57 раза значение амплитуды гармоники, появившейся в результате $n$-й бифуркации. Это теоретическое предсказание подтверждается экспериментально (см. работу [123] и рис. 7.33). Мы обсудим эти-экспериментальные данные в $\S 7.4$.

Другие периодические траектории. При уменьшении параметра $C$ от $C_{0}$ до $C_{\infty}$ происходит бесконечное число бифуркаций удвоения. При $C<C_{\infty}$ также имеются области периодического движения. Периодические траектории рождаются здесь парами (устойчивая и неустойчивая) в результате тангенциальной бифуркации. В качестве примера ${ }^{2}$ ) рождения траектории с периодом 3 на рис. 7.15 отложена зависимость
\[
f_{3}(x)=f(f(f(x)))
\]

для $f(x)$ согласно (7.2.4б). Неподвижные точки периода 3 удовлетворяют уравнению
\[
x_{3}=f_{3}\left(x_{3}\right) \text {. }
\]

Для $C$ незначительно больше $C_{0}^{(3)}$ это уравнение имеет только два
1) Приведенный вывод (взятый из работы [123], см. также [524]) является ошибочным. Во-первых, в данном случае нельзя заменять сумму интегралом, а во-вторых, неявно предполагаемая плавная зависимость комплексной амплитуды $X_{2 k^{\prime}+1}^{(n)}$ от $k^{\prime}$ явнс несправедлива, хотя бы из-за фазового множителя в (7.2.41). Более естєственным является предположение о плавной зависимости модуля амплитуды и случайности ее фазы ввиду перехода при $n \rightarrow \infty$ к хаосу с непрерывным спектром. Тогда из (7.2.41) и (7.2.42) можно получить $\gamma=2 \alpha^{2}\left(1+\alpha^{2}\right)^{-1 / 2}=\sqrt{2 \beta} \approx 4,65$ [см. (7.2.676) ]. Точная теория с использованием универсального отображения Фейгенбаума дает для среднего по спектру параметза подобия значение $\langle\gamma\rangle=4,578 \ldots$ [540]. Небольшое различие между этими значениями объясняется, по-видимому, приближенным характером исходного закона подобия (7.2.38). Соответственно изменяется и параметр $\beta=3,2375 \ldots$. (7.2.67б). Последнее значение приведено без объяснений в работе [205].- Прим. ред.
${ }^{2}$ ) Согласно работе [261], «период 3 приводит к хаосу» (при другом значении параметра). Этот результат вытекает из более ранней теоремы Шарковского [526] (см. также [547], с. 276).- Прим. ред.

(действительных) корня, которые дают неподвижные точки периода 1 (рис. $7.15, a$ ). Если же $C<C_{0}^{(3)}$, то уравнение имеет шесть корней (рис. 7.15, б), которые ссответствуют двум разным траекториям с периодом 3. Легко показать, что одна траектория устойчива (рис. 7.15, б, темные кружки), а другая-неустойчива (светлые кружки). Критическое значение параметра $C_{0}^{(3)}$, при котором рождаются эти траектории, равно
\[
C_{0}^{(3)}=(1-\sqrt{8}) / 2 \approx-0,9142 .
\]

Рис. 7.15. Рождение пары траекторий периода 3 при тангенциальной бифуркации.
Темные кружки показывают устоӥчивую траекторию; светлые- неустойчивую: $C_{>} C_{0}^{(3)}$ б) $C<C_{0}^{(3)}$. Пунктирная прямая $f_{3}=\boldsymbol{x}$.

Поскольку вблизи неподвижных точек отображение $f_{3}$ лока.тьно квадратично, то можно ожидать, что при дальнейшем уменьшении $C$ будут возникать бифуркации удвоения с периодами $3,6,12,24 \ldots$ Их точку сгущения $C_{\infty}^{(3)}$ можно найти с помощью описанной выше ренормализации или же путем численного моделирования. В последнем случае $C_{\infty}^{(3)} \approx-0,92475$. Существуют и зеркальные бифуркации удвоения при $\bar{C}=1-C$.

Точно так же с помощью отображений $f_{4}, f_{5}, f_{6}, \ldots$ можно найти устойчивые траектории с основным периодом $n=4,5,6$, … I. каждой из этих траекторий существует своя последовательность бифуркаций удвоения с начальной точкой $C_{0}^{(n)}$ и точкой сгущения $C_{\infty}^{(n)}$. Порядок, в котором появляются основные периоды при уменьшении параметра, является универсальным для всех отображений с одним квадратичным максимумом. Например, первые шесть периодов упорядочены при уменьшении $C$ следующим образом: 1,6 , $5,3,5,6,4,6,5,6$. Можно также найти и их общее число [296]. Например, имеются 202 основнее траектории с периодом до 11 включительно; их упорядочение по параметру исследовано Метрополисом и др. [300]. Недавно Гейзал и Нирветберг [151] показали, что для всех этих траекторий ренормализация имеет универсальную структуру.