Для отображения $T$ среднее по времени значение любой функции $f(x)$ в фазовом пространстве определяется следующим образом:
\[
\bar{f}(\boldsymbol{x})=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f\left(T^{n} \boldsymbol{x}\right) .
\]

Можно показать, что для почти всех $\boldsymbol{x}$ : а) функция $\bar{f}(\boldsymbol{x})$ существует; б) функция $f$ является инеариантной, т. е. не изменяется вдоль траектории:
\[
\bar{f}\left(T^{n} x\right)=\bar{f}(x),
\]

и в) фазовые средние функций $\bar{f}(\boldsymbol{x})$ и $f(\boldsymbol{x})$ совпадают. Фазовое среднее опредєляется соотношением
\[
\langle f\rangle=\int_{\boldsymbol{d} k} f(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\mu}
\]

где $\mathscr{M}$ — фазовое пространство системы размернссти $M$, а $\boldsymbol{\mu}$ — инвариантная мера, т. е. $d \boldsymbol{\mu}=P(\boldsymbol{x}) d^{M} x$, где $P(\boldsymbol{x})$ — инвариантное распределение. Для гамильтоновых систем в канонических переменных $\boldsymbol{x}$ функция $P=1$. Метод получения инвариантных распределений в диссипативных системах описан в $\$ 7.3$. Динамическая система называется эргодической, если для почти всех $\boldsymbol{x}$

\[
\bar{f}(\boldsymbol{x})=\langle f\rangle .
\]

Из этого определения ясно, что для эргодической системы среднее по времени не может зависеть ог $\boldsymbol{x}$. Из произвольности функции $f(\boldsymbol{x})$ следует, что эргодичность имеет место только в том случае, когда траектория попадает во все области фазового пространства, т. е. подходит сколь угодно близко к любой его точке бесконечное число раз. Отметим, что обратное утверждение неверно ${ }^{1}$ ). Если, например, система имеет инвариантные поверхности, то она не является эргодической и называется обычно разложимой ${ }^{2}$ ), хотя у нее могут быть и стохастические области.

Свойство эргодичности зависит от того, на каком подпростран стве оно определено. Так, автономная гамильтонова система не может быть эргодической во всем фазовом пространстве из-за точного сохранения энергии. Однако можно говорить о ее эргодичности на энергетической поверхности. Если существуют и другие интегралы движения, то система может быть эргодической только на подпространстве, определяемом всеми этими интегралами. В некотором смысле эргодичность оказывается универсальным свойством, и основная задача сводится к определению подпространства, на котором она существует.

Рассмотрим свойство эргодичности на примере движения на торе, задаваемом отображением
\[
T\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right)=\left(\theta_{1}+\omega_{1}, \theta_{2}+\omega_{2}\right), \quad \bmod 2 \pi,
\]

где $\alpha=\omega_{1} / \omega_{2}$ — иррациональное число. Покажем, что в этом случае движение является эргодическим на торе. Для этого разложим временно́е среднее $\bar{f}(\boldsymbol{x})$ в двойной ряд Фурье и сравним коэффициенты разложения функции $\bar{f}(\boldsymbol{x})$ :
\[
a_{\boldsymbol{k}}=\int_{0} \exp (-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}) \vec{f}(\boldsymbol{x}) d \mu
\]

и ее образа $\bar{f}(T \boldsymbol{x})$ :
\[
b_{\boldsymbol{k}}=\int_{i, \mu} \exp [-i \boldsymbol{k} \cdot(\tilde{\boldsymbol{x}}-\boldsymbol{\omega})] \bar{f}(\tilde{\boldsymbol{x}}) d \boldsymbol{\mu}=\exp (i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\omega}) a_{\boldsymbol{k}},
\]

где $\tilde{\boldsymbol{x}}=T \boldsymbol{x}$. Из инвариантности функции $\bar{f}$ следует, что для любого $\boldsymbol{k}
eq 0$ коэффициенты $a_{\boldsymbol{k}}=b_{\boldsymbol{k}}=0$, если $\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\omega}
eq 0$. Отсюда получаем, что для иррационального $\alpha(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\omega}
eq 0)$ только $a_{0}
eq 0$, и функция $\bar{f}(\boldsymbol{x})$ есть константа, как и требуется для эргодичности.

Физически отображение (5.2.4) соответствует отображению поворота на поверхности сечения $\theta_{2}=$ const (индекс 1 опущен):
\[
J_{n+1}=J_{n}, \quad \theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha .
\]
1) Интересным примером подобных всюду плотных, но не эргодических траекторий является диффузия Арнольда (см. п. 6.1a).- Прим. ред.
2) На эргодические компоненты (см. ниже).- Прим. ред.

Рис. 5.1. Эргодические свойства отображения поворота. $a$ — две пернодические траекторин ( $\times$ и 2 с рациональным числом вращения $\alpha(J)=$ $=2 / 5$; эргодичность на инвариантой кривой $J=$ const отсутствует; 6 — начальная функция распределения $f(\theta, 0)$, для которзй временове среднее $\bar{f}(\theta, t)$ зависит от $\theta$; $\theta$ — эргодическое движение на инвариантной кривой с иррациональным чнслом вращеиия $\alpha$, однако «серые» и «темные» траектории не пөремешиваютея.

Оно изображено на рис. 5.1, $a$ для $\alpha=1 / 5$ (рациональное число) и двух начальных условий (кружки и кресты). Выбрав $f(\theta)$, как показано на рис. 5.1 , б, легко видеть, что $\bar{f}=0$ для кружков и $\bar{f}=f_{0}$ для крестов. Таким образок, движение в этом случае не ьргодично. Для иррационального $\alpha$ траектория покрывает всю окружность и $\bar{f}(\boldsymbol{x})=\langle f\rangle=f_{0} / 2$, т. е. движение является, эргодичєским на окружности.

Отображение (5.2.4) соответствует движению интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантном торе $\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right)$. Можно сказать, что это движение эргодично на торе, но не эргодично во всем фазовом пространстве. Из рассмотренного примера квазипериодического движения ясно, что эргодичность еще не означает стохастичность. С другой стороны, наше определение эргодичности позволяет считать эргодическим стохастическое движение и в некоторой ограниченной области фазового пространства, например в стохастическом слое. Однако такое определение может оказаться не очень удобным в том случае, когда область стохастичности содержит много островков устойчивости ${ }^{1}$ ).