§ 100. Квазистационарные токи

Для исследования переменных во времени токов необходимо пользоваться общей системой уравнений Максвелла. Однако задача значительно упрощается для так называемых квазистационарных токов (сравнительно медленно меняющихся с течением времени).

Обозначим период изменения тока (если ток периодически меняется со временем) через Если изменения тока не периодические, обозначим через время, в течение которого ток изменяется на порядок своей величины. Линейные размеры системы (области, занятой током) обозначим через Тогда ток можно считать квазистационарным, если

Произведение есть расстояние, на которое распространяется поле за время Соотношение (100.01) показывает, что размеры системы малы и всякое изменение поля практически мгновенно охватывает всю систему проводников. Поэтому запаздыванием электромагнитных действий (гл. III) в такой системе можно пренебречь — можно считать, что во всех точках системы ток (или поле) в каждый момент времени находится в одной и той же фазе. Например, для промышленного переменного тока сек, а Поэтому, если размеры тока то можно считать ток квазистационарным.

Кроме условия квазистационарности (100.01), будем предполагать, что: 1) на границе области электромагнитное поле практически равно нулю; 2) проводники квазилинейны; 3) внутри проводников ток смещения мал по сравнению с током проводимости и током смещения можно пренебречь; если в цепь включен конденсатор (сосредоточенная емкость), то в конденсаторе можно пренебречь

током проводимости по сравнению с током смещения; 4) диэлектрики и проводники однородны.

Рассмотрим энергию квазистационарного тока.

Повторяя рассуждения § 39, в сцлу уравнения Максвелла получим

Аналогично преобразуется выражение для электрической энергии.

Для переменного поля Предполагая, что объемных зарядов нет, получим

Полная энергия равна

Покажем, что последний член может быть опущен. Векторный потенциал, пренебрегая запаздыванием, можно представить в форме (97.07). Тогда

где штрих означает, что функция зависит от радиус-вектора элемента объема В проводниках, где нет сторонних сил, Поэтому правая часть обращается в нуль

В этом легко убедиться, произведя в одном из членов замену аргументов на на Для тех объемов проводников, в которых действуют сторонние силы, будем иметь

Но объем в котором действуют сторонние силы, можно считать очень малым по сравнению с объемом V всех проводников системы. Поэтому этим членом можно пренебречь.

Таким образом, выражение для энергии квазистационарного поля по форме совпадает с выражением для энергии стационарного поля

Для системы линейных проводников и конденсаторов

где потенциальные коэффициенты, коэффициенты взаимоиндукции и самоиндукции проводников.

Рассмотрим систему из емкости С, самоиндукции сопротивления (рис. 42) и сосредоточенного источника сторонней э. д. с. (емкостью и сопротивлением катушки самоиндукции пренебрегаем, сопротивление источника э. д. с. включаем в Энергия системы равна

где заряд одной из обкладок конденсатора.

Рис. 42.

Применим к системе закон сохранения энергии. На границе области в силу условия (1) вектор Умова-Пойнтинга S обращается в нуль (это значит, что система не излучает). Уравнение энергии принимает вид

Согласно (93.08) и (94.02) для линейного проводника поэтому, подставив в (100.05), получим

Замечая, что получаем

Уравнение (100.06) выражает обобщенный закон Ома для цепи квазистационарного тока. Перепишем его в форме

В числителе имеем: стороннюю э. д. с., разность потенциалов между обкладками конденсатора, электродвижущую силу индукции

возникающую в катушке самоиндукции при изменении силы тока (все величины выражены в абсолютной гауссовой системе единиц, а коэффициент самоиндукции в системе

Можно получить более общее выражение для электродвижущей силы индукции из закона Фарадея (67.02). Согласно (98.05) э. д. с. индукции в проводнике а равна

Первый член определяет э. д. с. индукции, вызванную изменением силы тока в проводниках, а второй — изменением взаимного расположения и формы проводников с током.

В случае системы неподвижных проводников, связанных друг с другом индуктивно, обобщенный закон Ома дает систему

член V а отличен от нуля лишь для незамкнутого проводника и равен разности потенциалов на его концах.