ГЛАВА IV. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДОВ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

§ 52. Уравнения движения заряженной частицы в поле. Функция Лагранжа

Общая задача классической микроэлектродинамики состоит в определении поля движущихся под действием сил заряженных частиц (§ 22). Эта задача не могла быть решена классической электродинамикой в общем виде. Рассмотрим здесь некоторые ее простейшие случаи в предположении, что движение частиц подчиняется установленным в § 19 законам, применимым при больших скоростях.

Уравнение движения квазиточечной частицы с зарядом и массой покоя во внешнем электромагнитном поле согласно (22.04) имеет вид

В механике широко используются уравнения движения в форме Лагранжа

где — функция Лагранжа, одна из обобщенных координат, обобщенная скорость. Найдем функцию Лагранжа, приводящую к уравнению движения (52.01).

При отсутствии внешнего поля уравнение (52.01) сводится к Импульс равен Отсюда с

точностью до постоянной функция Лагранжа свободной частицы равна

Для частицы в электромагнитном поле положим

Тогда сила Лоренца, стоящая в правой части (52.01), равна

Так как сила Лоренца содержит гироскопический член то должна содержать члены линейные относительно скорости. Поэтому положим

где — соответственно скаляр и вектор, зависящие от координат частицы и времени. Определим путем сравнения (52.04) с (52.01). Согласно (52.04)

Так как

то

Но

поэтому

Из сравнения (52.05) с (52.01) находим, что то есть суть электромагнитные скалярный и векторный потенциалы поля. Функция Лагранжа для заряженной частицы в электромагнитном поле принимает вид

При первый член переходит в Из (52.06) находим, что обобщенный импульс частицы в электромагнитном поле складывается из количества движения и «потенциального импульса»

В заключение определим функцию Гамильтона

На основании (52.07)

Поэтому функция Гамильтона принимает вид

В случае поля, не зависящего от времени, дает полную энергию частицы.

Задача

Доказать, что «естественные» уравнения движения частицы с переменной массой имеют обычный вид

где радиус кривизны траектории, масса, определяемая формулой (19.04).

Решение. Так как где единичный вектор касательной к траектории, то

поскольку кривизна траектории, единичныи вектор главной нормали. Поэтому

Проектируя последнее на касательную, нормаль и бинормаль получим искомые уравнения.