§ 45. Запаздывающие и опережающие потенциалы

Определение электромагнитного поля по заданному распределению заряда и тока сводится к нахождению частных решений неоднородных волновых уравнений (44.08) и (44.09). Для определения потенциала воспользуемся методом, примененным в § 27: определим потенциал создаваемый достаточно малым, квазиточечным источником, а затем, пользуясь принципом суперпозиции, определим потенциал произвольного распределения заряда.

Предположим, что плотность заряда во всем пространстве, кроме точки равна нулю, а в точке находится меняющийся со временем заряд Тогда плотность заряда можно написать в форме . Наше предположение противоречит закону сохранения заряда, однако вычисление поля переменного точечного источника имеет лишь вспомогательный характер — окончательный результат, полученный применением принципа суперпозиции, удовлетворяет закону сохранения заряда.

Потенциал переменного точечного источника удовлетворяет уравнению

Очевидно, что потенциал точечного заряда должен быть сферически симметричен и можно положить где расстояние точки наблюдения от источника Поэтому, написав в сферических координатах и учитывая, что вне точки получим

Это уравнение по форме совпадает с уравнением (41.06). Поэтому его общий интеграл имеет вид откуда

Рассмотрим сначала частное решение

Определим функцию Заметим, что при должно удовлетворяться уравнение (45.01). При потенциал неограниченно возрастает и возрастает значительно быстрее, чем Поэтому

уравнение (45.01) переходит в уравнение для кулоновского потенциала

Таким образом, при потенциал (45.02) должен переходить в кулоновский потенциал поэтому и

Это значит, что потенциал в момент в точках, находящихся на расстоянии от заряда, определяется не величиной заряда а величиной где . Другими словами, поле заряда распространяется из точки в виде сферической волны, расширяющейся со скоростью и достигает точки не мгновенно, а запаздывая на время Поэтому потенциал (45.03) называется запаздывающим.

Второе частное решение уравнения (45.01) приводит к опережающему потенциалу

определяющему потенциал в точке в момент через значение заряда в момент

Выбор одного из двух решений определяется начальными условиями задачи. Если дано распределение заряда в пространстве для дан потенциал и для момента во всем пространстве, а требуется отыскать потенциал в любой момент то решение уравнения (45.01) определяется однозначно в виде запаздывающего потенциала. Если дано для а надо определить потенциал для то однозначным решением (45.01) будет опережающий потенциал.

Таким образом асимметрия решения во времени, содержащаяся в (45.03) или (45.04), есть следствие постановки задачи, известной под названием задачи Коши: даны начальные (или конечные) условия, требуется определить значения потенциала в будущем (или в прошедшем). Исходные дифференциальные уравнения электродинамики (44.08) и (44.09) не содержат временной асимметрии, они полностью обратймы во времени.

Перейдем к общему случаю меняющегося со временем произвольного распределения заряда и тока. Бесконечно малый заряд

находящийся в элементе объема около точки создает в точке в момент согласно (45.03) запаздывающий потенциал

где расстояние Полный потенциал в точке А равен

где интегрирование производится по всему пространству, точнее, по всем точкам которые имели заряд в соответствующий «эффективный» момент

Уравнение для векторного потенциала (44.08) по форме совпадает с уравнением для Поэтому его решение может быть также представлено в форме запаздывающего потенциала

Чтобы получить общий интеграл неоднородного волнового уравнения, надо к частному решению неоднородного уравнения прибавить общий интеграл однородного уравнения. Последний можно взять в форме суммы плоских волн, как это сделано в § 43. Выбирая соответствующим образом амплитуды волн, можно удовлетворить заданным начальным условиям.

Задачи

1. Показать, что запаздывающий потенциал (45.05) удовлетворяет уравнению (44.09).

Решение. Обозначив где имеем

Но

поэтому

С другой стороны,

Поэтому

так как по (4.11)

2. Доказать, что потенциалы (45.05) и (45.07) удовлетворяют условию калибровки (44.06).

Решение. Введем Тогда

Здесь Перейдем от дифференцирования по координатам точки А к дифференцированию по координатам точки Пользуясь равенством имеем

Последняя дивергенция берется при Теперь

Первый член равен нулю, так как может быть преобразован по формуле Остроградского в интеграл по поверхности, охватывающей все поле, на которой Так как

то

Следовательно, условие (44.06) выполнено, если удовлетворяют закону сохранения заряда.

3. Доказать, что если (плотность поляризации некоторого объема) меняется со временем, то вектор Герца (задачи 5, 6, § 45) равен