§ 87. Теорема о единственности решения электростатической задачи

Электростатическая задача заключается в определении потенциала создаваемого произвольным распределением объемных поверхностных и точечных зарядов в неоднородной диэлектрической среде. Теорема о единственности утверждает, что эта задача имеет только одно решение.

Рассмотрим задачу в предположении, что поле создается заряженными проводниками, диэлектрик — однороден. В этом случае задача имеет три формулировки.

1. Дана система проводников и их потенциалы

Существует только один потенциал в среде, окружающей проводники, удовлетворяющий уравнению Лапласа и принимающий значения соответственно на поверхностях 1-го, 2-го, проводников и обращающийся в нуль в бесконечности.

Допустим, что существует второе решение удовлетворяющее уравнению Лапласа и тем же граничным условиям. Тогда функция должна удовлетворять уравнению Лапласа и обращаться в нуль на поверхностях всех проводников и в бесконечности. Рассмотрим энергию этого поля. Так как то, применяя формулу Остроградского, получим

где поверхность ограничивает весь объем (состоит из поверхностей проводников и бесконечно удаленной поверхности). Но во всем объеме обращается в нуль на всей поверхности .

Поэтому отсюда следует, что то есть Но на поверхностях проводников Следовательно, везде, а поэтому

2. Даны заряды проводников Докажем единственность решения задачи. Допустим, что существуют два решения

и удовлетворяющие уравнению Лапласа и граничным условиям

где — поверхность проводника. Кроме того, в бесконечности обращаются в нуль.

Разность должна удовлетворять уравнению Лапласа и условиям

На поверхности каждого проводника потенциал должен иметь постоянное значение Применим формулу (87.01). Объемный интеграл в ее правой части исчезает, так как Поверхностный интеграл разобьем на интегралы по поверхностям проводников и интеграл по бесконечно удаленной поверхности. Последний исчезает, так как Интеграл по поверхности каждого проводника исчезает в силу соотношения (87.02) и соотношения

Поэтому правая часть (87.01) исчезает. Следовательно, так как то везде. Поэтому

3. Возможны смешанные граничные условия — на одних проводниках заданы потенциалы, на других — заряды. Повторив рассуждения предыдущих задач, легко убедиться, что и в этом случае