§ 93. Постоянный электрический ток

Постоянный электрический ток течет по проводнику, если на концах его поддерживается постоянная разность потенциалов. Плотность постоянного тока в проводящем теле удовлетворяет уравнению непрерывности

На границе двух тел должно удовлетворяться условие

Уравнение (93.01) показывает, что линии стационарного тока всегда замкнуты.

Плотность тока и количество теплоты, выделяемое током, определяются для изотропного проводника дифференциальными законами Ома и Ленца — Джоуля

где — напряженность стороннего поля.

Рассмотрим узел, в котором сходятся несколько токов. Вычислим силу тока через замкнутую поверхность о, охватывающую узел. Получим

здесь сила тока, идущая через сечение проводника а. Так как внешняя нормаль, то ток считается положительным, если он течет от узла, и отрицательным, если он течет к узлу. По формуле Остроградского согласно (93.01) получим

Таким образом, алгебраическая сумма сил стационарных токов, сходящихся в узле, равна нулю (первый закон Кирхгофа)

Найдем силу тока, возникающего в проводнике. Рассмотрим квазилинейный проводник. Квазилинейным проводником называется проводник, поперечное сечение которого и электропроводность зависят только от положения сечения, то есть от длины отсчитываемой вдоль линии, соединяющей центры сечений. Примером квазилинейного проводника служит обычный линейный проводник, представляющий собой однородный круговой цилиндр, длина которого велика по сравнению с диаметром.

В квазилинейном проводнике напряженности Естр и плотность тока постоянны во всех точках данного сечения и изменяются от сечения к сечению как функции от координаты

Если квазилинейный проводник граничит с изолятором, то на боковой поверхности его линии тока проходят касательно к этой поверхности, образуя трубку тока.

Рассмотрим два сечения квазилинейного проводника. Обозначим через токи, идущие через эти сечения. Рассматривая участок, лежащий между сечениями как узел и пользуясь законом Кирхгофа, получим то есть сила стационарного тока во всех сечениях неразветвленного квазилинейного проводника одинакова.

Проинтегрируем равенство

по от сечения до сечения Замечая, что и имеем

Здесь

— сопротивление участка квазилинейного проводника и действующая на этом участке сторонняя э. д. с. Отсюда получается обобщенный закон Ома

Разность потенциалов называется напряжением на участке цепи.

Количество теплоты, выделяющееся в проводнике в единицу времени, равно

так как

Из (93.07) следует, что для замкнутой цепи и сила тока отлична от нуля лишь в том случае, если в цепи существует сторонняя э. д. с.

Рассмотрим замкнутую неразветвленную цепь. Пусть на участке 1—2 действует стороннее поле а вне участка Участок 1—2 цепи называется источником сторонней э. д. с., которая равна

Роль сторонней э. д. с. заключается в том, что она непрерывно вызывает движение положительных зарядов внутри источника в направлении от к 2. Назовем точки 1 и 2 зажимами источника.

Применим (93.07) к внешнему участку цепи и ко всей цепи. Обозначим внешнее и внутреннее сопротивления участков через а через потенциалы на зажимах источника; получим

Следовательно,

Из (93.07) следует, что если то то есть сторонняя э. д. с. измеряется разностью потенциалов на зажимах источника, когда цепь разомкнута. Во внешней цепи потенциал падает в направлении тока, так что Наоборот, внутри источника э. д. с. потенциал падает в направлении, противоположном направлению тока,

Задачи

1. Определить сопротивление изоляции кабеля длины состоящего из цилиндрического проводника радиуса а и цилиндрической изоляции с наружным радиусом Изоляция соприкасается с окружающей средой, которая считается хорошим проводником.

Решение. Обозначим электропроводность изоляции через Боковая поверхность цилиндра радиуса равна Согласно (93.06) получим

2. В качестве заземления в почву зарыт металлический шар радиуса . Определить сопротивление заземления.

Решение. Здесь координатой квазилинейного проводника служит радиус Поэтому

где — коэффициент электропроводности грунта. Из формулы видно, что существенна электропроводность непосредственно у поверхности шара.