§ 129. Электропроводность и теплопроводность металлов

В зоммерфельдовской модели металла имеется одна незаполненная сферически симметричная зона проводимости. Энергия электрона (или дырки) в этой зоне равна Будем считать, что магнитное поле отсутствует, а электрическое поле и градиент температуры направлены по оси Тогда плотность электрического тока и плотность потока энергии в направлении оси х будет определяться формулами

Здесь - интервал состояний (интегрирование производится по всем состояниям). Так как сферически симметричная функция, то интегралы от первых членов исчезают (как и должно быть, так как в равновесном состоянии все потоки должны равняться нулю). Пользуясь (128.09), получим

При отсутствии градиента температуры Так как градиент температуры направлен по оси х, то

и

Коэффициент при в (129.03) определяет удельную электропроводность

Заметим, что где элемент телесного угла.

Поэтому среднее по телесному углу Вместо введем длину свободного пробега зависящую от энергии частицы

тогда (129.05) примет вид

Этот интеграл можно вычислить приближенно. Учитывая, что при температурах ведет себя как -функция (§ 118), имеющая острый максимум при имеем

Из (118.10) и (118.12) следует, что ( — плотность электронов). Поэтому

Здесь берутся для энергии, равной границе Ферми Это объясняется тем, что в силу принципа Паули ускоряться электрическим полем могут лишь те электроны, энергии которых лежат вблизи границы Ферми.

Большую теплопроводность металлов в сравнении с теплопроводностью изоляторов можно объяснить предположением, что теплопроводность х, обусловленная свободными электронами, значительно превышает теплопроводность решетки. Для вычисления х преобразуем выражения (129.03) и (129.04). Функция зависит от х лишь через Пользуясь тем, что содержит только в комбинации получим

Усреднение по углам Поэтому (129.03) и (129.04) в силу (129.06) приводятся к виду

Учитывая, что медленно меняется с и ведет себя как -функция, интегралы в (129.10) и (129.11) можно представить в форме

Поэтому (129.10) и (129.11) переписываются в виде

Теплопроводность измеряется при тогда из (129.13) находим

Подстановка в (129.14) дает

В том приближении, которое было применено при вычислении интеграла (129.07), скобка обращается в нуль. Поэтому необходимо использовать следующее приближение, рассмотренное в § 118. Согласно (118.19)

Учитывая, что имеем

Так как находим

Это выражение совпадает с обычным выражением кинетической теории газов для теплопроводности теплоемкость единицы объема), если в качестве теплоемкости взять выражение (123.03) для электронного газа, а под понимать скорость на границе Ферми.

Выражения (129.08) и (129.17) для содержат неопределенную длину свободного пробега электронов. Ее можно исключить, взяв отношение

Таким образом, отношение пропорционально абсолютной температуре. Коэффициент пропорциональности есть универсальная постоянная, равная

Постоянство выражения было установлено экспериментально

Видеманом и Францом еще до построения электронной теории проводимости металлов.

В приводимой ниже таблице 1 даны значения ряда величин для металлов 1-й группы. Число свободных электронов вычислялось в предположении, что на каждый атом приходится один свободный электрон зоны проводимости. Энергия Ферми и вычислялись по (118.12), длина свободного пробега по (129.08) на основании экспериментального значения Из таблицы видно, что

экспериментальные значения числа находятся в хорошем согласий с приближенным теоретическим значением (129.19).

(см. скан)

Кроме того, длина свободного пробега электронов в металле порядка сотни постоянных решетки. Заметим, что при расчете и I бралась обычная масса электрона . Цифры несколько изменятся, если взять эффективную массу и учесть, что для равняется 1,47 (эксперимент), а для и -соответственно 1,53, 0,94 и 0,58 (теория).