§ 112. Распространение волн вдоль проводов

Чтобы ток можно было считать квазистационарным, должно быть выполнено условие длина линии (§ 100). Если это условие не выполнено, то есть

то ток и поле не будут квазистационарными. В этом случае нельзя считать фазу тока или поля одинаковой во всех точках линии — всякое изменение электромагнитного состояния на каком-либо конце линии будет приводить к распространению волн вдоль линии.

Рис. 54

Рассмотрим участок линии длиной (рис. 54). Обозначим через сопротивление, емкость и самоиндукцию единицы длины провода. Тогда падение потенциала на участке провода будет равно где сила тока. Электродвижущая сила самоиндукции равна Поэтому полное падение потенциала на равно

Отсюда получаем первое телеграфное уравнение

Аналогично можно составить второе уравнение для тока. На длине сила тока будет уменьшаться на вследствие того, что часть входящего заряда будет идти на заряжение провода, а другая часть может теряться вследствие несовершенства изоляции. Если проводимость среды на единицу длины, то утечка равна Заряд элемента длины провода равен а его изменение в единицу времени равно На основании закона сохранения заряда имеем

откуда следует второе телеграфное уравнение

Докажем, что система имеет решением гармоническую волну частоты распространяющуюся вдоль оси х. Как и в § 107, ищем решение в форме

Подставив (112.04) в получим систему однородных уравнений

Здесь

( сопротивление, а полная проводимость на единицу длины линии). Система (112.05) имеет нетривиальное решение, если определитель коэффициентов равен нулю. Отсюда получается уравнение для комплексного волнового вектора

Полагая убеждаемся, что решение имеет форму затухающей гармонической волны, распространяющейся в направлении оси

Соотношение (112.09) напоминает закон Ома. Величина

называется волновым или характеристичным сопротивлением линии.

Для идеальной линии вещественная величина, равная

В такой линии волны не затухают Фазовая скорость распространения волны равна

и определяется только параметрами линии. В случае однопроводной линии (задачи 4, § 87 и 1, § 99)

(множитель появился потому, что выражено в электростатических единицах). Поэтому

Таким образом, скорость распространения волн вдоль провода определяется формулой Максвелла, содержащей лишь параметры окружающей среды. Эта формула является точной и может быть выведена вполне строго.

Применим полученные результаты к простейшей радиотехнической антенне — прямолинейному проводу длины В установившемся состоянии в проводе должны образоваться стоячие волны вследствие отражения от концов. Действительно, складывая две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, получим

где — начальная фаза. Из телеграфных уравнений для идеальной линии получаем

Таким образом, фаза потенциала отличается от фазы тока на не только во времени, но и в пространстве, что характерно для стоячих волн.

Если прямолинейная антенна не заземлена, ток на обоих концах ее должен равняться нулю. Это дает граничные условия

Из первого следует, что из второго где целое число. Это значит поскольку что длина волны X собственных колебаний не может принимать произвольных значений, а равна

то есть в длине I антенны должно укладываться целое число полуволн. Если то поэтому собственные частоты будут равны

При имеем так называемый полуволновой диполь.

В более общем случае антенна состоит из вертикального провода длины нижний конец которого заземлен через сосредоточенную нагрузку, характеризуемую комплексным сопротивлением Так как нагрузка сосредоточенная, то можно считать, что ток в ней имеет то же значение, что и на поверхности земли Граничные условия можно написать в форме

Второе условие согласно (112.13) дает то есть

Применяя первое условие к (112.14), находим

откуда в силу (112.19) получаем

Если провод непосредственно соединен с землей то дает откуда

В этом случае собственная частота колебаний такова, что на длине I антенны укладывается нечетное число четвертей длины волны. Сила тока при принимает максимальное значение (пучность).

Если сосредоточенная нагрузка состоит из последовательно включенных емкости и самоиндукции то и уравнение (112.20) принимает вид

Допустим, что правая часть уравнения (112.22) мала и частота по значению близка к (112.21). Положим

тогда (112.22) дает

Поэтому приближенно

Отсюда видно, что последовательное включение уменьшает частоту, то есть увеличивает длину волны. Такая самоиндукция называется удлинительной. Последовательное включение емкости увеличивает со и уменьшает собственную длину волны. В общем случае результат зависит от знака разности со Чтобы увеличить собственную волну антенны, нагрузку делают в виде параллельно включенных емкости и самоиндукции.

Таким образом, меняя параметры нагрузки, можно настраивать антенну на различные частоты.

Задачи

1. Вывести уравнения, которым подчиняются потенциал и сила тока длинной линии.

Решение. Дифференцируя (112.02) по х и подставляя - из (112.03), получим

Аналогично доказывается, что удовлетворяет тому же уравнению. Для идеальной линии получается уравнение Даламбера.

2. Определить дипольный момент полуволнового диполя, совершающего незатухающие колебания.

Решение. Для полуволнового диполя согласно поэтому по (112.14) потенциал и линейная плотность заряда равны

Отсюда видно, что обращается в нуль при достигает наибольшего значения при Полный заряд провода равен нулю, а дипольный момент (§ 29) равен

3. Определить энергию, излучаемую полуволновым диполем в единицу времени.

Решение. Согласно § 48 энергия, излучаемая диполем в единицу времени, равна

На основании результатов задачи 2

где Поэтому излучаемая в единицу времени энергия равна

то есть пропорциональна квадрату амплитуды напряжения и обратно пропорциональна квадрату длины диполя.