§ 34. Векторный потенциал
Рассмотрим магнитное поле стационарного тока. Пусть плотность тока 
зависит только от координат и отлична от нуля в конечной области пространства. Поскольку стационарный ток не имеет источников, то
и линии плотности стационарного тока замкнуты. Электрическое поле такого статического распределения заряда определяется формулами § 27.
Магнитное поле стационарного тока согласно (25.03) удовлетворяет уравнениям
Последнее равенство показывает, что магнитное поле является вихревым. Поэтому можно положить
Вектор А называется векторным потенциалом магнитного поля. В случае стационарного поля А зависит только от координат точки.
Векторный потенциал однозначно определяет напряженность магнитного поля. Магнитное поле определяет векторный потенциал с точностью до градиента некоторого скаляра. Действительно, векторный потенциал А, равный
где 
некоторый скаляр, определяет то же самое поле:
Векторный потенциал можно сделать однозначным, если наложить на него добавочное условие
называемое условием калибровки. Условие калибровки всегда может быть выполнено: если 
то всегда можно подобрать функцию такую, что 
Для определения векторного потенциала подставим В из (34.03) в первое уравнение (34.02). Тогда
В силу условия калибровки (34.05)
Это уравнение определяет векторный потенциал по заданному распределению тока. Оно аналогично уравнению Пуассона (27.01) для скалярного потенциала. Так как функция Грина для оператора Лапласа определена в § 27, то решение (34.06) можно написать сразу
Убедимся, что условие калибровки (34.05) удовлетворяется. Обозначим через V оператор, взятый по координатам точки наблюдения 
а через V — оператор, взятый по координатам точки источника 
Заметим, что в применении к функциям от 
и
Поэтому
Оператор V введен под знак интеграла потому, что дифференцирование производится по 
играющему роль параметра. Первый интеграл исчезает, так как его можно по формуле Остроградского преобразовать в интеграл по замкнутой поверхности, на которой нормальная составляющая тока обращается в нуль. Второй интеграл исчезает в силу (34.01). Поэтому условие калибровки выполнено.
Если ток линейный, то 
где 
сила тока, 
элемент длины тока (см. задачу 2 § 7), и векторный потенциал приводится к виду
(интегрирование производится по замкнутому контуру С линейного тока).
