§ 111. Распределение переменного тока по сечению проводника (скин-эффект)

При рассмотрении квазистационарных токов предполагалось, что переменный ток распределяется по сечению однородного проводника так же равномерно, как и постоянный. Однако для переменных токов распределение плотности тока по сечению неравномерно — плотность возрастает от оси проводника к периферии. При высоких частотах ток занимает только поверхностный слой толщиной в несколько микрон. Вследствие этого явление получило название скин-эффекта (от английского кожа, поверхностный слой).

Рассмотрим цилиндрический проводник радиуса а. Электрическое поле направим вдоль оси совпадающей с осью проводника. Пусть . Внутри проводника ток смещения мал по сравнению с током проводимости, поэтому током смещения можно пренебречь. Уравнение для электрического поля в проводнике напишем в форме (задача 1 § 106)

так как то, умножив предыдущее уравнение на получим

Это есть основное уравнение, определяющее распределение тока. Допустим, что поле и ток зависят от времени гармонически, то есть

Введем цилиндрические координаты и предположим, что проводник настолько длинный, что можно считать не зависящими от z и азимута а. Тогда зависит только от расстояния от оси проводника. Уравнение (111.01) принимает вид

так как в рассматриваемом случае

С помощью новой переменной

уравнение (111.03) приводится к уравнению Бесселя

Общее решение этого уравнения, как всякого линейного дифференциального уравнения второго порядка, имеет вид

где произвольные постоянные, два линейно-независимых частных решения. Решение (бесселева функция нулевого порядка) выбирается так, чтобы при (на оси цилиндра) оно оставалось конечным. Тогда второе независимое решение при обращается в бесконечность. Поэтому следует положить Итак, искомое решение имеет вид

В теории функций Бесселя доказывается, что можно представить в форме ряда по четным степеням

Но аргумент есть комплексная величина, определяемая формулой (111.04). Для такого аргумента функция комплексная. Для вещественной и мнимой частей функции Томсон ввел обозначения то есть

Разложения функций могут быть получены из выражения (111.07), если в него подставить

Тогда

При Поэтому есть плотность тока на оси проводника. Плотность тока равна

Из (111.10) видно, что при изменении меняется не только амплитуда плотности тока, но и фаза. Отношение комплексной плотности тока на поверхности цилиндрического провода радиуса а и на оси его равно

и зависит от величины

Если то распределение тока почти равномерное по сечению; по мере увеличения распределение делается все более неравномерным.

Значения функций для даются в приводимой таблице (более подробные таблицы имеются в книге Е. Янке и Ф. Эмде «Таблицы функций с формулами и кривыми», М. - Л., ГИТТЛ, 1948, стр. 352 и следующие).

При можно воспользоваться асимптотической формулой

Из таблицы и формулы (111.13) видно, что с увеличением X, то есть с увеличением частоты при данном радиусе а, плотность тока быстро возрастает к периферии проводника. Графики распределения по сечению даны на рисунке 52.

Комплексная амплитуда силы тока выражается интегралом по сечению

В теории функций Бесселя доказывается, что

где функция Бесселя первого порядка. Поэтому

Рис. 52.

Для значений можно воспользоваться асимптотическим выражением

Таблицы для вещественной и мнимой частей функции можно найти в вышеупомянутой книге Янке Пользуясь (111.14), можно по амплитуде тока найти

Зная распределение тока по сечению, можно вычислить напряженности поля Электрическое поле вычисляется по формуле

Магнитное поле в рассматриваемом случае сводится к азимутальной составляющей На и вычисляется (током смещения внутри металла пренебрегаем) из закона полного тока (70.11)

Заменив в (111.14) а через получим Тогда

Таким образом, задача о распределении тока и поля внутри проводника решена полностью.

Вследствие того что ток и магнитное поле распределяются внутри проводника неравномерно, активное сопротивление и индуктивность проводника для переменного тока отличаются от соответствующих значений для стационарного тока. Воспользуемся теоремой Умова — Пойнтинга в комплексной форме (§ 110). Эффективное активное сопротивление и эффективную индуктивность проводника можно определить через теплоту Джоуля—Ленца и магнитную энергию

Поэтому (110.10) принимает вид

Энергия в проводнике мала по сравнению с поэтому ею обычно пренебрегают. Левая часть (111.18) легко вычисляется.

Рис. 53

Так как и на поверхности проводника одинаковы во всех точках поверхности и взаимно перпендикулярны, то

Здесь подставлено из (111.16). Таким образом,

Разделяя в этом выражении вещественную и мнимую части, находим

Для больших значений то есть для высоких частот, можно воспользоваться асимптотическими формулами (111.13) и (111.15). Тогда

где сопротивление цилиндрического проводника постоянному току, параметр, определенный формулой (111,12). Из (111.20) видно, что при больших частотах, когда , эффективное активное сопротивление равно эффективному

индуктивному сопротивлению оба они значительно превышают сопротивление постоянному току. Наоборот, при стремится к стремится к нулю, так как постоянному значению (рис. 53).