§ 37. Скалярный магнитный потенциал тока

Совпадение магнитного поля диполя (36.07) с электрическим полем диполя наводит на мысль ввести скалярный магнитный потенциал Определим так, чтобы

Для магнитного диполя по аналогии с (29.01) можно положить

Магнитный потенциал в отличие от электростатического имеет бесконечное множество значений. Действительно, циркуляция электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Циркуляция же магнитного поля по замкнутому контуру, охватывающему ток, равна согласно Если за начальное значение магнитного потенциала взять (37.01), то после обходов вокруг тока в исходной точке получим

Магнитный потенциал можно считать однозначным, если условиться рассматривать лишь такие контуры, которые не пересекают некоторой поверхности, опирающейся на рассматриваемый замкнутый ток. Однако для вычисления поля по (37.02) многозначность магнитного потенциала не существенна.

Магнитным потенциалом можно воспользоваться для вычисления магнитного поля произвольного линейного тока на расстоянии, которое не велико по сравнению с размерами тока.

Допустим, что на контур С тока опирается некоторая поверхность о, направление нормали к любому элементу которой

связано с направлением тока правилом правого винта. Мысленно разобьем площадь поверхности двумя системами пересекающихся кривых на элементы площади (рис. 22). Допустим, что по каждой кривой текут два равных по величине но противоположно направленных тока. Введение таких токов позволяет считать каждый элемент площади поверхности обтекаемым замкнутым током При этом ток по направлению совпадает с идущим по контуру С током. Ток, обтекающий площадку, обладает магнитным моментом

Рис. 22.

Таким образом, получается, что на поверхности о распределен магнитный момент с поверхностной плотностью — . Эта поверхность называется двойным магнитным слоем или магнитным листком. Площадка может быть сделана сколь угодно малой. Магнитный потенциал, создаваемый площадкой в точке равен согласно (37.02)

где радиус-вектор телесный угол, под которым видна площадка из точки наблюдения. Телесный угол считается положительным, если луч зрения от к точке наблюдения образует острый угол с направлением нормали Полный потенциал, создаваемый всем двойным слоем, равен

где телесный угол, под которым виден контур тока С. Если магнитнкй потенциал определен, то магнитное поле вычисляется по формуле (37.01).

Рис. 23.

Задачи

1. Определить магнитное поле на оси кругового тока радиуса а на расстоднии от него (рис. 23).

Решение. Круговой ток эквивалентен двойному магнитному слою с плотностью Из точки наблюдения А контур тока виден под

углом где площадь сегмента сферы радиуса ограниченного контуром тока. Так как то

Но Поэтому согласно (37.06) магнитный потенциал в точке наблюдения равен

Отсюда напряженность магнитного поля на оси равна

где - магнитный момент тока, с

2. Определить напряженность магнитного поля на оси кругового однослойного соленоида радиуса а, имеющего длину витков на единицу длины (рис. 24).

Рис. 24.

Решение. Из точки А вне соленоида сечение х видно под телесным углом Магнитный потенциал равен

Отсюда магнитное поле на оси вне соленоида равно

Аналогично вычисляется поле на оси внутри соленоида. В этом случае точка (на расстоянии от левого торца) делит соленоид на две части. Левая часть создает потенциал, который можно

получить из выражения для если положить и заменить через

Правая часть соленоида создает отрицательный потенциал (так как который получается так же, если положить и I заменить через длину правой части

Потенциал внутри соленоида равен

напряженность

Если соленоид бесконечно длинный, то и напряженность поля внутри бесконечно длинного соленоида равна