§ 4, Теорема Гаусса в дифференциальной форме (теорема о дивергенции электрического поля)

Соотношение суммарным образом связывает поле с зарядами («источниками» поля), находящимися внутри произвольного объема. Для приложений гораздо удобнее дифференциальная формулировка теоремы Гаусса.

Разделим (3.10) на объем V, ограниченный поверхностью тогда слева мы получим средний поток, выходящий из единицы объема, а справа — среднюю плотность заряда

Будем стягивать поверхность к некоторой точке (считая, что поверхность , охватывающая объем V, — односвязная); тогда предел левой части дает дивергенцию поля

а предел правой части — плотность заряда в точке, определяемой радиус-вектором к которой стягивается поверхность о:

Поэтому формула (3.10) приводится к виду

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля являются заряды.

Выше указывалось, что «элементарные» заряды мы рассматриваем как точечные. Но для удобства математического рассмотрения некоторых вопросов можно вводить плотность заряда которая равна нулю везде, кроме тех точек, в которых находятся точечные заряды. В этих точках плотность заряда обращается в бесконечность. Для одного точечного заряда можно написать

где радиус-вектор точки наблюдения, a - радиус-вектор заряда. Функция есть так называемая несобственная функция Дирака, характеризующая точечный источник поля.

Несобственная функция одного независимого переменного х может быть определена следующим образом: — при обращается в бесконечность при причем для любой непрерывной функции

В частности, при

Область интегрирования может быть бесконечной. Имеют место равенства:

Смысл этих равенств заключается в том, что их правая и левая части дают одинаковые результаты, если их применить в качестве множителя под знаком интегрирования.

Аналогично можно ввести трехмерную -функцию равную нулю везде, кроме точки и такую, что интеграл по объему равен

В частности,

В качестве такой функции можно взять, например, произведение

Возвращаясь к плотности заряда, видим, что в силу (4.07) полный заряд, соответствующий плотности (4.02), равен

где интегрирование проводится по бесконечному объему или любому объему, содержащему точку

Плотность заряда системы точечных зарядов может быть написана при помощи -функций в форме

где сумма берется по всем зарядам. Тогда

есть сумма всех зарядов, находящихся в объеме Для точечного заряда дифференциальная теорема Гаусса согласно (4.01) и (4.02) принимает вид

Подставляя сюда напряженность поля заряда которую согласно (1.05) можно написать в форме

где получим математическое соотношение

определяющее -функцию через дивергенцию вектора

Задачи

1. Показать, что решением уравнения поля точечного заряда является поле

Решение. Поле точечного заряда сферически (радиально) симметрично. Обозначая через единственную радиальную составляющую напряженности, получим в сферических координатах

Откуда

где элемент объема в сферической системе координат.

Замечая, что согласно (4.07) интеграл -функции по объему, окружающему заряд, равен единице, получим откуда

2. Показать, что напряженность поля заряда, равномерно распределенного по объему шара радиуса а, удовлетворяет уравнению (4.01).

Решение. Пользуясь результатами задачи 2 (§ 3), получим для Поэтому в сферических координатах

Для точки вне шара Поэтому

так как