§ 44. Скалярный и векторный электромагнитные потенциалы

Вернемся к вопросу о вычислении электромагнитного поля произвольно движущихся электрических зарядов. В общем случае электромагнитное поле заданного распределения заряда и тока характеризуется уравнениями Максвелла — Лоренца

причем

Так как отличны от нуля, то при выводе волновых уравнений с помощью (44.01) появятся производные от Поэтому для определения поля по заданным обычно пользуются электромагнитными потенциалами, которые являются обобщением электростатического потенциала и векторного потенциала на случай переменного электромагнитного поля.

Рассмотрим вторую группу уравнений (44.01). Из следует, что магнитное поле вихревое и можно положить

Вектор А зависит от координат и времени и называется электромагнитным векторным потенциалом. Подставив (44.03) в первое уравнение, находим

Отсюда следует, что потенциальный вектор, который можно положить равным Таким образом,

Скаляр зависящий от координат и времени, называется электромагнитным скалярным потенциалом.

Из (44.04) видно, что электрическое поле в общем случае определяется не только скалярным, но и векторным потенциалом А. Член определяет вихревую часть электрического поля, или, другими словами, его индукционную часть, циркуляция которой

(работа переноса единичного заряда) по замкнутому контуру отлична от нуля. Если А не зависит от времени, то (44.04) переходит в уравнение (26.01) для статического электрического поля.

Чтобы определить потенциалы подставим (44.03) и (44.04) в уравнения (44.01). Замечая, что получим

Для разделения неизвестных введем дополнительное условие Лоренца (условие калибровки)

Это условие обобщает условие (34.05) для векторного потенциала стационарного магнитного поля.

Возможность наложения условия (44.06) вытекает из того, что потенциалы полем определены неоднозначно. Действительно, электромагнитные потенциалы можно подвергнуть градиентному преобразованию

(X — произвольная функция координат и времени), при котором напряженности не изменяются,

Учитывая, что непосредственно измеряются только а потенциалы и А имеют вспомогательный характер и непосредственно не измеряются, всегда можно выбрать функцию так, что будет выполнено условие Лоренца (44.06). В этом случае уравнения (44.05) принимают вид

Уравнения (44.08) и (44.09) являются обобщением уравнений Пуассона (27.01) и (34.06) и переходят в последние, если не зависят от времени. Они называются неоднородными уравнениями Даламбера или неоднородными волновыми уравнениями. При эти уравнения обращаются в обычные волновые уравнения.

Задачи

1. Доказать, что удовлетворяют однородным волновым уравнениям, если этим уравнениям удовлетворяют

2. Показать, что при для электромагнитных потенциалов можно выбрать калибровку

и получить результаты § 41. Показать, что поперечность электромагнитных волн вытекает из условия калибровки.

Решение. Очевидно, что условия сразу разделяют переменные в (44.05) и приводят к волновому уравнению для Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, получим —

Далее, Следовательно, то есть волна поперечная.

3. Показать, что для монохроматической плоской волны

имеют место соотношения

4. Показать, что при условии (44.06) скалярный и векторный потенциалы монохроматической волны связаны соотношением которое приводит к поперечности волн.

5. Показать, что условие калибровки автоматически удовлетворяется, если и X выразить через вектор Герца («поляризационный потенциал»)

6. Показать, что вектор Герца будет удовлетворять уравнению

если согласно закону сохранения заряда положить

имеет смысл вектора электрической поляризации, то есть дипольного момента единицы объема),