§ 131. Электропроводность полупроводников

Для полупроводников плотность тока и поток энергии будут определяться формулами (129.10) и (129.11), однако в качестве функции распределения надо взять функцию распределения Максвелла-Больцмана (§ 124 и 126)

Распределение (131.01) отличается от распределения Ферми. В частности, производная при не имеет острого максимума. Поэтому метод оценки интегралов, использованный в § 129, не применим. Пользуясь тем, что для коэффициента электропроводности согласно (129.05) получим

Вынося за знак интеграла среднее значение длины свободного получим

После интегрирования по частям имеем

Так как

то можно представить в форме

Отсюда следует, что подвижность носителей тока равна

так как согласно (131.02) и (118.15)

Если длина свободного пробега носителей обратно пропорциональна температуре, что имеет место для полупроводников с атомной решеткой (§ 130), то подвижность пропорциональна Например, для германия подвижности электронов и дырок равны

Поэтому зависимость электропроводности от температуры в основном определяется экспоненциальной зависимостью концентрации носителей. Согласно (119.10), (126.10,17) и (124.14) электропроводности донорного, акцепторного и собственного полупроводников, имеющих два сорта носителей (электроны и дырки), равны

где и определяются формулами (124.11) и (124.12).

Обычно для изображения зависимости у от пользуются диаграммой, на осях которой откладывают и (рис. 70, а). Если отвлечься от температурной зависимости предэкспоненциального множителя, то ход собственной проводимости изобразится прямой для которой При низких температурах имеет место примесная проводимость. Согласно изображается прямой наклон которой определяется энергией активации примесей (или

С повышением температуры количество носителей увеличивается до тех пор, пока не наступает истощение примесных центров. Тогда согласно изображается горизонтальной прямой (так как собственная проводимость еще не сказывается). На участке температура настолько высока, что имеет

место собственная проводимость (131.07). При большей концентрации примесей участок располагается выше, так как содержит член Поэтому получаем ломаные С увеличением изменяется наклон участка поскольку энергия активации примесей зависит от их концентрации.

Рис. 70.

Действительно, энергия активации примесных уровней может зависеть от их взаимодействия, а последнее должно быть функцией где среднее расстояние между примесными центрами. Поэтому

Здесь — значение энергии возбуждения при исчезающе малой концентрации Ограничиваясь первыми членами разложения и учитывая, что получим

Для кремния см. В силу зависимости (131.08) наклон участков с увеличением концентрации уменьшается. При концентрации примесей

концентрация электронов проводимости становится постоянной, не зависящей от температуры (прямая При такой концентрации примесей кремний становится полуметаллом (электронный газ невырожденный, но плотность его не зависит от температуры).

Рассмотренная зависимость от искажается зависимостью от предэкспоненциального множителя. При нормальных температурах для полупроводников с атомной решеткой При понижении температуры убывает, так как уменьшается Эффективность теплового рассеяния и в атомных решетках преобладающее значение приобретает рассеяние на ионизированных примесях, Это рассеяние аналогично резерфордовскому рассеянию -частиц ядрами: дырка (или электрон) движется в кулоновском поле иона по гиперболе, во внешнем (соответственно, внутреннем) фокусе которой находится ион. В этом случае эффективное сечение рассеяния пропорционально где заряд иона и кинетическая энергия носителя. Поэтому длина свободного пробега носителя пропорциональна а средняя длина пробега . Кроме того, средняя длина свободного пробега, обусловленного столкновениями с ионами, обратно пропорциональна их концентрации. Поэтому, учитывая (131.04), получим

Рис. 71.

Если в рассеянии носителей тока участвуют оба механизма, тепловой (фононный) и ионный, то в первом приближении результирующая обратная подвижность равна сумме обратных подвижностей, обусловленных различными механизмами, то есть

Зависимость от дана на рисунке 71. Из (131.10) видно, что положение максимума зависит от концентрации примесей: с увеличением концентрации примесей максимум смещается в сторону высоких температур.

В ионных кристаллах рассеяние носителей тока тепловыми колебаниями гораздо сильнее, чем в атомных решетках — взаимодействие носителей тока с ионами решетки сильнее, чем с нейтральными атомами. Поэтому подвижность носителей в ионных кристаллах обычно меньше, чем в атомных. Температурная зависимость подвижности

носителей определяется соотношениями

( максимальная частота продольных оптических колебаний решетки). При оптических колебаниях решетки соседние ионы разных знаков смещаются в противоположных направлениях (вследствие чего возникает электрический дипольный момент). При акустических колебаниях соседние ионы смещаются в одну и ту же сторону.

Следует отметить, что подвижности носителей в ионных кристаллах еще слабо изучены. По-видимому, в проводимости ионных кристаллов существенную роль играют так называемые поляроны, теория которых была развита С. И. Пекаром. Поляроном называется электрон, находящийся на энергетическом уровне, расположенном в запрещенной зоне ниже дна зоны проводимости. Этот энергетический уровень возник вследствие сильного взаимодействия электрона с продольными оптическими колебаниями решетки.

Вследствие диэлектрической поляризации кристалла полем электрона коны решетки смещаются и колеблются не около узлов, а около смещенных положений равновесия. Энергия диссоциации полярона (расстояние поляронкого энергетического уровня от нижнего края зоны проводимости) равна

где эффективная, обычная масса электрона; оптический диэлектрический коэффициент кристалла, равный квадрату показателя преломления.

Равновесная концентрация поляронов определяется приближенно формулой

где эффективная масса полярона ( порядка нескольких сотен Из (131.14) и (126.10) видно, что может на несколько порядков превышать концентрации электронов в зоне Вследствие трансляционной симметрии решетки поляроны могут передвигаться в кристалле, но подвижность их значительно меньше подвижности электронов

Опыт показывает, что подвижность носителей тока в ионных кристаллах действительно значительно меньше подвижности носителей в атомных решетках. Поскольку равновесная концентрация поляронов приблизительно в раз превышает концентрацию можно считать, что носителями тока в ионных кристаллах являются поляроны.

Влияние температурной зависимости подвижности на электропроводность приведет к некоторому искажению идеальной картины, рассмотренной выше (рис. 70, б).