§ 124. Собственные полупроводники

Если запрещенная зона энергий, разделяющая заполненную зону и полностью пустую зону достаточно мала, то при низких температурах кристалл будет изолятором, а при высоких — полупроводником. При этом проводимость полупроводника обусловлена

электронами в зоне проводимости и в меньшей степени дырками в нормальной зоне (так как эффективная масса электрона в нормальной зоне значительно больше эффективной массы в зоне проводимости).

Вычислим равновесную концентрацию электронов в зоне проводимости. При все электроны в единице объема полностью заполняют зону При они распределены по уровням двух зон Поэтому согласно (118.03) число электронов в единице объема равно

Здесь энергии электронов в зонах соответственно степени вырождения уровней в этих зонах; значки обозначают соответственно суммирование по всем уровням нормальной зоны и зоны проводимости. Уравнение (124.01) определяет химический потенциал (уровень Ферми). Так как при нормальная зона полностью заполнена, то

то есть число электронов равно числу состояний в нормальной зоне. Вычитая (124.02) из (124.01), получим условие нейтральности

Здесь

есть функция распределения дырок в нормальной зоне. Поэтому соотношение (124.03) выражает равенство числа дырок в нормальной зоне числу электронов в зоне проводимости. В полупроводниках концентрация электронов или дырок, как показывает измерение эффекта Холла, имеет порядок Так как число уровней в зоне порядка , то доля занятых состояний ничтожно мала и выражение (124.03) можно упростить. При тепловом возбуждении электроны в зону проводимости переходят из области, непосредственно прилегающей к верхней границе нормальной зоны, и

располагаются на уровнях вблизи нижней границы зоны проводимости. Поэтому согласно (120.07) положим

Здесь верхняя граница (потолок) нормальной зоны, нижняя граница (дно) зоны проводимости, эффективные массы. Условие нейтральности (124.03) принимает вид

Если С лежит внутри запрещенной зоны на достаточно большом расстоянии от зон так что

то то есть электронный газ в -зоне и дырочный газ в -зоне не вырождены. Тогда, пренебрегая единицами в знаменателе (124.06), получим

Введем статистические суммы

получим

откуда

Поскольку то при вторым членом можно пренебречь. Таким образом, уровень химического потенциала С лежит посередине запрещенной области. Если бы при нормальная зона не была заполнена, уровень лежал бы внутри этой зоны (как в металлах). Если бы при электроны были в зоне проводимости, то уровень С лежал бы в зоне

Вычислим и пользуясь выражениями (124.05). Эти выражения справедливы только при близком к нулю Но сумму по можно распространить на всю зону, не сделав значительной ошибки, так как вклад уровней, отстоящих далеко от границы зоны, из-за множителя мал. Заменив суммирование интегрированием, распространим сумму на бесконечную область. Тогда вычисление аналогично вычислению интеграла (118.13). Получим

Тогда

Так как есть ширина запрещенной зоны энергии), то согласно (124.08) концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в нормальной зоне равна

Отсюда видно, что энергия электронного возбуждения равна

При условии вытекающем из (124.07), функция распределения электронов в зоне проводимости и дырок в -зоне — максвелловская.

Вводя подвижности электронов и дырок, электропроводность собственного полупроводника согласно (119.09) можно написать в форме

Подвижности обычно являются степенными функциями , поэтому основную роль в играет экспоненциальный множитель, вследствие чего электропроводность очень быстро возрастает с увеличением температуры.