§ 54. Движение заряда в магнитном поле

Уравнение движения заряда в постоянном магнитном поле можно написать в форме

Энергия частицы в магнитном поле остается постоянной, так как действующая сила перпендикулярна к скорости и не производит работы. Поэтому масса постоянна и ее можно вынести за знак производной. Выбираем ось z в направлении поля В. Введем обозначение

Проектируя (54.01) на оси координат, получим

Здесь проекции на оси координат. Из последнего уравнения следует, что вдоль оси z заряд движется равномерно, так что

где соответственно составляющая начальной скорости и начальная координата. Чтобы решить первые два уравнения, перейдем к комплексной переменной Тогда из (54.03)

Отсюда

где — начальные составляющие скорости (при Интегрируя (54.05) и вводя начальные координаты найдем

Из (54.06) получается проекция траектории заряда на плоскость Перенося постоянный член в левую часть и беря квадрат модуля,

имеем

где скорость частицы в плоскости ху. Уравнение (54.07) определяет окружность радиуса

с центром в точке

Если то траектория заряда в однородном магнитном поле представляет собой винтовую линию с радиусом (54.08) и осью, направленной вдоль магнитного поля; если то заряд движется по окружности в плоскости, перпендикулярной полю. Отсюда вытекает способ получения заряженных частиц определенной скорости: если по окружности радиуса расположить несколько узких радиальных диафрагм, то через диафрагмы смогут пройти лишь те частицы, скорость которых равна

Задачи

1. Пользуясь естественными уравнениями движения (задача, § 52), определить радиус кривизны траектории заряда в магнитном поле и показать, что скорость по величине остается постоянной.

2. Показать, что зависимость х и у от времени может быть представлена в форме

где начальные координаты и скорости. За исходное уравнение взять (54.06).