§ 114. Геометрическая интерпретация. Двуосные и одноосные кристаллы

Рассмотрим геометрическую интерпретацию аналитических зависимостей, полученных в предыдущем параграфе. Прежде всего рассмотрим соотношение (113.30). Введем вектор Тогда и уравнение (113.30) принимает вид

Рис. 56.

Это есть уравнение эллипсоида с полуосями равными главным лучевым скоростям. Этот эллипсоид тождествен тензорному эллипсоиду (113.07). Проведем из центра эллипсоида радиус-вектор в направлении вектора Его длина от центра до пересечения с поверхностью эллипсоида равна скорости распространения колебания вектора (рис. 56). Если дано направление луча то оба колебания вектора способные распространяться вдоль I со скоростями лежат в плоскости, перпендикулярной к Эта плоскость, пересекаясь с эллипсоидом, дает эллиптическое сечение. Полуоси полученного эллипса определяют лучевые скорости Так как одна из полуосей есть наибольший, а другая — наименьший радиус-вектор эллипса, то определяемые ими лучевые скорости будут наибольшей и наименьшей скоростями из всех скоростей распространения в данном направлении I колебаний. Направления полуосей

дают направления и Скорости вообще говоря, различные. Но существуют два направления для которых нормальная плоскость дает круговые сечения. По отношению к лучам в этих направлениях анизотропное тело ведет себя как изотропное. Эти два направления, для которых колебания вектора могут иметь любые направления, называются оптическими осями кристалла. Если то оптические оси лежат в плоскости то есть в плоскости наибольшей и наименьшей скорости распространения.

Эллипсоид, определяемый уравнением (114.01), называется лучевым эллипсоидом.

Другое графическое представление распространения волн в анизотропной среде получается с помощью уравнения Френеля (113.27). Обозначая

перепишем уравнение (113.27) в виде

Рис. 57.

Это есть уравнение поверхности 4-го порядка, которая называется лучевой поверхностью (рис. 57). Каждому направлению соответствуют две лучевые скорости. В направлении распространяются со скоростями лучи, для которых вектор параллелен или в направлении со скоростями лучи, для которых вектор параллелен или а в направлении со скоростями лучи, для которых вектор параллелен или Чтобы яснее представить себе форму лучевой поверхности, рассмотрим сечения поверхности координатными плоскостями. Полагая в получим

После простых преобразований имеем

то есть сечение лучевой поверхности плоскостью есть эллипс с полуосями Но полагая мы

отбросили решение

удовлетворяющее (114.03). Таким образом, плоскость пересекает лучевую поверхность по кругу радиуса и по эллипсу (114.04). Аналогично плоскость пересекает лучевую поверхность по кругу

и по эллипсу

а плоскость пересекает лучевую поверхность по кругу

и по эллипсу

Таким образом, лучевая поверхность имеет форму, которую можно назвать двустворчатой. На рисунке изображено сечение лучевой поверхности плоскостью а на рисунке -сечение плоскостью Точки пересечения окружности и эллипса в плоскости хххг соответствуют пересечениям оптических осей с лучевой поверхностью.

Рис. 58.

Аналогичные построения можно произвести, если рассматривать не лучи, а волны. Введем вектор

параллельный вектору индукции и численно равный фазовой скорости распространения и. Тогда равенство (113.20) запишется в виде

Уравнение (114.07) определяет поверхность, весьма похожую на эллипсоид и называемую овалоидом Френеля. К овалоиду применимо то же построение, что и к эллипсоиду (114.01). Полагая

уравнение (113.17) можно переписать в виде

Уравнение (114.09) выражает поверхность нормалей к волне. Эта поверхность имеет вид, аналогичный лучевой поверхности, но в сечениях вместо эллипсов получаются овалы. Направления распространения волн суть ортогональные траектории этой поверхности.

Наряду с двумя оптическими осями существуют два направления, при распространении вдоль которых волны могут иметь вектор направленный как угодно в нормальных к этим направлениям плоскостях. Направления эти не совпадают с оптическими осями.

Между лучевой поверхностью и поверхностью нормалей к волне существует простое геометрическое соотношение. Пусть через некоторую точку проходит в направлении плоская волна. Отложим от этой точки вдоль две скорости и. и распространения волн и проведем через концы отложенных векторов две нормальные к плоскости — волновые поверхности. Огибающая всех волновых поверхностей для всех возможных направлений вектора есть лучевая поверхность. Обратно, огибающая плоскостей, нормальных к лучам, есть поверхность нормалей к волне. Построив к лучевой поверхности касательную плоскость и опустив на нее из начала перпендикуляр, получим направление распространения волн. Заметим, что в точках пересечения лучевой поверхности с оптическими осями существует не одна касательная плоскость, а касательный конус.

Если два главных значения тензора равны, то тензорный эллипсоид (лучевой эллипсоид) из трехосного превращается в эллипсоид вращения. Если то оптические оси сливаются с осью (рис. 58, а). Если то оптические оси сливаются с осью В первом случае лучевой эллипсоид есть сплюснутый эллипсоид вращения (вращение вокруг оси во втором случае — вытянутый эллипсоид вращения (вращение вокруг оси Так как в этих

случаях оптические оси сливаются, то кристалл называется одноосным. Эта единственная оптическая ось совпадает, очевидно, с осью вращения эллипсоида.

Лучевые поверхности одноосных кристаллов имеют вид, изображенный на рисунке 59. Кристаллы первого рода называются положительными, кристаллы второго рода отрицательными.

Рис. 59.

Луч света, падающий на поверхность оптически одноосного кристалла, разделяется на два луча, распространяющихся с разной скоростью. Обыкновенный луч распространяется по направлению нормали к волне со скоростью, не зависящей от направления. Необыкновенный луч образует с нормалью некоторый угол и имеет скорость, зависящую от направления.

Задача.

На плоскую поверхность одноосного кристалла падает плоская волна. Определить ход лучей, если оптическая ось лежит в плоскости падения.

Рис. 60.

Решение. Для положительного кристалла можно сделать следующее построение (рис. 60). Пусть -граница кристалла, фронт падающей волны. Эллипс и круг с центром О представляют собой пересечение поверхности лучей, выходящих из О с плоскостью падения. Расстояние от центра О до лучевой поверхности лучи проходят за то же время, в течение которого волна вне кристалла проходит путь Прямые и касательные к сечениям лучевой поверхности в точках являются огибающими лучевых поверхностей и, следовательно, поверхностями нормалей. Отрезки и

дают направления параллельных лучей О В для обыкновенного луча, для необыкновенного луча. Поскольку длина зависит от направления, то лучевая скорость также зависит от направления.

Ход лучей для отрицательного одноосного кристалла находится аналогично.