§ 17. Натяжения Максвелла

Тензор был истолкован как плотность потока импульса поля. Следуя Максвеллу, тензору можно дать другое толкование.

Изменение импульса тела в единицу времени равняется действующей силе. Поэтому в выражении

вектор есть плотность объемной силы, действующей на объем V электромагнитного поля. Преобразование (15.09) позволяет

привести силы, действующие на объем, к поверхностным силам. В выражении

слева стоит изменение импульса поля в объеме V в единицу времени, а справа — величина, которую следует рассматривать как поверхностную силу, действующую на объем Поэтому стоящая под знаком интеграла величина

есть плотность поверхностной электромагнитной силы, то есть сила, действующая на единицу площади ограничивающей поверхности с нормалью Из (17.02) видно, что поверхностная сила, приложенная к произвольно наклоненной единичной площадке, получается путем линейного преобразования с компонентами единичного вектора нормали к этой площадке. Сила, действующая на единичную площадку, нормалью к которой является ось имеет согласно (15.08) составляющую по оси равную

так как Аналогично

Рис. 13.

Итак, суть составляющие силы, действующей на единичную площадку с нормалью Диагональный элемент есть нормальное напряжение, приложенное к, площадке. Смешанные компоненты суть касательные или скалывающие напряжения. Весь тензор с компонентами (15.13) называется тензором максвелловских натяжений.

В качестве примера рассмотрим натяжение при Направим ось х вдоль тогда Ось z направим перпендикулярно нормали к элементу поверхности и напряженности поля (рис. 13), Обозначим через угол между нормалью к поверхности и полем. Тогда и согласно (

но (15.13)

Поэтому составляющие поверхностной плотности силы, действующей на элемент с нормалью равны

Абсолютная величина поверхностной плотности силы, равная

не зависит от ориентации элемента поверхности по отношению к полю и равна плотности энергии электрического поля. Угол между нормалью к поверхности и вектором плотности силы у всегда делится по полям вектором поля Тензор натяжений переносит чистое натяжение, если перпендикулярно к поверхности, и чистое давление, если лежит в плоскости поверхности.

Для магнитного поля получаются аналогичные результаты.

Задача

Определить давление электромагнитной волны, падающей на поверхность тела под углом а и полностью поглощаемой.

Решение. Объем наклонного цилиндра, построенного на единичной площадке поверхности тела, с образующей, равной скорости света с, равен Количество движения поля в этом объеме где вектор Умова — Пойнтинга для падающей волны. Если волна полностью поглощается телом, то в одну секунду единице поверхности тела передается количество движения Нормальная составляющая дает давление, а касательная — касательное напряжение

Тот же результат можно получить с помощью максвелловских натяжений.