§ 3. Принцип наложения полей. Теорема Гаусса

Опыт показывает, что электрическое поле подчиняется принципу наложения (суперпозиции) полей: поле двух или нескольких зарядов равно векторной сумме полей, сбздаваемых каждым зарядом в отдельности, то есть

где поле, создаваемое зарядом с индексом а в точке в момент результирующее поле в той же точке и в тот же момент времени.

Рис. 2.

Принцип суперпозиции вытекает из факта векторного сложения сил, действующих на заряд, находящийся в точке со стороны других зарядов.

Введем понятие о потоке вектора напряженности. Обозначим элемент площади некоторой поверхности о с нормалью через (рис. 2). Поток вектора через определится формулой

Поток вектора через всю поверхность о будет равен

Если поле создается несколькими зарядами, то на основании (3.01) имеем и

то есть поток равнодействующего поля через некоторую поверхность о равен алгебраической сумме потоков составляющих.

В § 1 указывалось, что для графического изображения поля проводят силовые линии. Поток вектора через поверхность можно интерпретировать как число силовых линий, пронизывающих поверхность о. Выбирая площадку перпендикулярной к из (3.02) имеем

то есть напряженность поля равна числу силовых линий, проходящих через единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению поля. Заметим, что силовые линии служат лишь для наглядного изображения поля, а не являются реальными образованиями.

Рассмотрим теперь поток поля через произвольную замкнутую поверхность а. Допустим, что голе создается точечными зарядами.

Рис. 3.

Для одного точечного заряда поток через площадку равен согласно (1.05) и (3,02)

где а — угол, образованный вектором (рис. 3) и нормалью к площадке (нормаль берем всегда внешнюю). Поскольку

элемент телесного угла, под которым видна площадь из точки, занимаемой зарядом то

Поток через всю замкнутую поверхность равен

где есть полный телесный угол, под которым видна поверхность из точки, занимаемой зарядом. Если заряд находится внутри поверхности, то телесный угол, под которым видна вся замкнутая поверхность, равен Если заряд находится вне замкнутой поверхности, то замкнутая поверхность видна под телесным углом, равным нулю. Итак,

Поэтому поток через замкнутую поверхность

Разделим теперь все заряды на две группы: а) заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности, заряды, находящиеся вне замкнутой поверхности. Тогда согласно (3.04) полный поток через замкнутую поверхность равен

Но по (3.09) все а все Поэтому

где полный заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности. Формула (3.10) выражает теорему Гаусса: поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен произведению на полный заряд, находящийся внутри этой поверхности. Знак потока определяется знаком суммарного заряда. Поток характеризует число силовых линий и не зависит от размеров и формы замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд (поверхность можно сделать сколь угодно малой). Следовательно, из положительного заряда выходит а в отрицательный заряд входит силовых линий.

Теорема Гаусса говорит о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Ею удобно пользоваться для определения поля зарядов, распределенных со сферической, цилиндрической или плоской симметрией.

Задачи

1. Определить электрическое поле неподвижного заряда равномерно распределенного по поверхности шара радиуса а.

Решение. Вследствие сферической симметрии распределения заряда напряженность поля в данной точке должна быть направлена вдоль радиус-вектора этой точки (если за начало координат взять центр шара) и величина напряженности поля должна зависеть только от расстояния Положив получим для потока напряженности через шаровую поверхность радиуса выражение

(так как нормаль к шаровой поверхности совпадает с Обозначим через заряд, находящийся внутри шаровой поверхности радиуса По теореме Гаусса имеем

Если точка, определяемая радиус-вектором лежит вне шара то в равняется полному заряду шара поэтому

Если точка лежит внутри шара то и

Таким образом, напряженность поля внутри равномерно заряженного по поверхности шара равна нулю, а вне шара — совпадает с напряженностью поля точечного заряда, равного заряду шара и расположенного в центре его. На поверхности шара а напряженность поля меняется скачком:

где поверхностная плотность заряда.

2. Определить электрическое поле заряда равномерно распределенного по объему шара радиуса а.

Решение. Вследствие сферической симметрии распределения заряда вектор направлен по и мы можем применить формулу полученную в предыдущей задаче. Плотность заряда равна Если точка лежит вне шара то, как и в предыдущей задаче, Поэтому

Если точка лежит внутри шара то есть заряд внутри шара радиуса

Поэтому

Таким образом, напряженность электрического поля заряда, распределенного равномерно по объему шара, внутри шара возрастает пропорционально расстоянию от центра, а вне шара — совпадает с напряженностью поля точечного заряда, равного полному заряду шара и сосредоточенного в центре его. На границе шара поле непрерывно.