§ 40. Исторические замечания

Понятие о потенциале возникло в классической механике. В 1777 году Ж. Л. Лагранж (1736—1813) показал, что силу тяготения, действующую на массу со стороны других точечных масс, можно получить дифференцированием по координатам этой массы функции Особого

названия этой функции Лагранж не дал. В 1782 году Лаплас перешел к непрерывному распределению масс и доказал, что функция вне масс удовлетворяет уравнению (символ был введен позже В. Гамильтоном). Лаплас решил знаменитую задачу о притяжении трехосным эллипсоидом точки вне его. Частный случай этой задачи рассмотрен в задаче 6 § 27.

В 1812 году С. Д. Пуассон (1781—1840) показал, что в точках, в которых плотность масс отлична от нуля, функция удовлетворяет уравнению

Учение о потенциале было разработано Георгом Грином. Его книга «Опыт приложения математического анализа к теории электричества и магнетизма» вышла в 1828 году. Независимо от Грина термин «потенциал» ввел К. Ф. Гаусс (1777—1855). Он разработал теорию потенциала в мемуаре «Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния». В § 22—23 этого мемуара содержится известная теорема Гаусса о потоке вектора напряженности через замкнутую поверхность.

Работы Грина и Гаусса послужили источником многочисленных исследований по математической теории потенциала. С современным состоянием вопроса о потенциале можно ознакомиться по книгам: Л. Н. Сретенский, Теория ньютоновского потенциала, ГИТТЛ, 1946 и Н. М. Гюнтер, Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, ГИТТЛ, М., 1953.

В работе Гаусса «Общая теория земного магнетизма» впервые устанавливается связь между работой потенциальной силы и изменением потенциала и, таким образом, дается физический смысл потенциалу. [Подробнее этот вопрос рассмотрен позже (в 1847 г.) Г. Гельмгольцом в работе «О сохранении силы»]. В той же работе Гаусс вводит понятие о мультипольных потенциалах и разлагает земной магнитный потенциал в ряд по мультипольным потенциалам. Эта задача по отношению к электростатическому потенциалу разобрана нами в § 28, 29, 30.

Магнитное поле тока исследовалось Био, Саваром и Лапласом, а взаимодействие токов — А. Ампером. Ампер ввел понятие магнитного момента замкнутого тока (§ 36) и двойного магнитного слоя (§ 37). Векторный потенциал магнитного поля тока ввел в 1845 году Ф. Э. Нейман (1798—1895).

Соотношение установлено Максвеллом.

Заметим, что все работы по теории потенциала (Грин, Гаусс) и взаимодействию токов (Ампер, Био, Лаплас и др.) проводились на основе представлений о дальнодействии. Трактовка явлений с точки зрения близкодействия была дана в работах Максвелла.

Решение многих задач на вычисление различных полей можно найти в книгах: Дж. А. Стрэттон, Теория электромагнетизма, ГИТТЛ, М. - Л., 1948; В. Смайт, Электростатика и электродинамика, Изд. иностранной литературы, М., 1954.