§ 103. Вынужденные колебания (переменный ток)

Предположим, что в цепи, состоящей из последовательно включенных самоиндукции емкости С и сопротивления действует сторонняя э. д. с., меняющаяся со временем гармонически с циклической частотой а),

Согласно (100.06) сила тока в цепи будет характеризоваться дифференциальным уравнением

Если взять производную по и заменить — через то сила тока будет подчиняться уравнению второго порядка

Однако удобнее решать уравнение (103.02), применяя метод комплексных решений. Напишем э. д. с. в комплексной форме Так как заменим (103.02) уравнением

Рис. 44.

Здесь комплексная сила тока. Сила тока, определяемая уравнением (103.02), будет равна вещественной части

Ищем решение (103.03) в форме

где постоянная комплексная амплитуда. Представим ее в форме где -модуль, а фаза (начальная фаза тока) Тогда

Комплексные числа будем изображать векторами на плоскости (рис. 44). Число изобразится вектором длины образующим угол с неподвижным направлением С течением времени угол изменяется и вектор равномерно вращается с угловой скоростью вокруг точки О. Проекция вектора на ось дает, очевидно, вещественную часть Искомый ток равен

Таким образом, задача сводится к определению комплексной амплитуды тока. Возьмем производную по времени от (103.05). Так как , то

Следовательно, дифференцирование комплексного вектора по времени сводится к умножению на и повороту в положительном направлении на угол Интегрируя получим

то есть интегрирование тока по времени сводится к делению на и повороту вектора в отрицательном направлении на угол

Подставим (103.04) в (103.03). Получим комплексное уравнение

Величина

называется комплексным сопротивлением. Из (103.09) вытекает закон Ома в комплексной форме

Напишем комплексное сопротивление в форме

Вещественная часть комплексного сопротивления называется активным сопротивлением, а мнимая часть -реактивным сопротивлением. Из (103.12) получаем

Уравнение (103.11) принимает вид

Перейдем к вещественной части согласно (103.06); получим силу тока

Амплитуда силы тока равна

Величина называется кажущимся сопротивлением цепи или импедансом. Импеданс зависит не только от цепи, но и от частоты а).

Если цепь состоит из одной индуктивности, то Поэтому величина

называется индуктивным сопротивлением самоиндукции. Если цепь состоит лишь из емкости С, то

поэтому величина

называется емкостным сопротивлением. Из (103.17) и (103.18) видно, что с увеличением частоты индуктивное сопротивление возрастает, а емкостное уменьшается.

Рис. 45.

Сравнение (103.15) и (103.01) показывает, что сила тока отличается от электродвижущей силы по фазе на угол

Из второго соотношения (103.13) видно, что если то есть то ток отстает по фазе от электродвижущей силы, а если то опережает ее. При то есть когда

ток совпадает по фазе с электродвижущей силой, а кажущееся сопротивление достигает наименьшего значения При этом амплитуда тока достигает максимума и определяется формулой этом случае говорят о резонансе. Зависимость амплитуды тока от частоты (резонансная кривая) изображена на рисунке 45. При напряжение (разность потенциалов) на концах катушки самоиндукции или между обкладками конденсатора может достигать очень больших значений. Действительно, согласно (103.08) для напряжения на емкости при резонансе имеем

а для напряжения на индуктивности —

Поэтому, если то напряжения будут больше амплитуды приложенной э. д. с.

Из рассмотренного метода комплексного переменного для синусоидальных токов вытекает метод векторных диаграмм. Уравнение (103.09) можно рассматривать как векторное уравнение, показывающее, что векторная сумма падения напряжения на омическом сопротивлении падения напряжения на индуктивности и падения напряжения на емкости равна комплексному вектору напряжения Построим это векторное равенство графически (рис. 46), отложив вектор из точки О в произвольном направлении. Тогда вектор надо отложить под углом а вектор под углом Разность изобразится отрезком если диагональю прямоугольника, построенного на и Легко видеть, что длина этой диагонали равна

Рис. 46.

Угол показывающий, на сколько ток отстает по фазе от напряжения, определяется равенством

Таким образом, снова получены выражения (103.13) и (103.16).

В заключение отметим, что для разветвления цепи переменного тока емкость узла можно считать исчезающе малой. Поэтому первый закон Кирхгофа сохраняет свое значение, и его можно записать в комплексной форме

Задачи

1. В цепи переменного тока с последовательным соединением элементов R, L, С определить зависимость заряда конденсатора от времени. Решение. Согласно (103.08) и (103.14)

откуда

2. Определить частоту при которой амплитуда заряда на обкладке конденсатора достигает максимума. Найти значение етах.

Указание. Разыскать минимум подкоренного выражения. Ответ.

коэффициент затухания контура;

3. Показать, что при параллельном соединении элементов цепи переменного тока с комплексными сопротивлениями складываются комплексные проводимости (рис. 47).

Рис. 47.

Решение. Для узла согласно (103.20) имеем с другой стороны, если напряжение на равно Полагая, получим комплексную проводимость разветвления

4. Определить комплексное сопротивление и импеданс контура, состоящего из параллельно включенных емкости С и самоиндукции

Решение. Так как проводимости емкости и самоиндукции соответственно равны

то проводимость разветвления и комплексная сила тока равны

Поэтому

Если то импеданс такого контура бесконечно велик — контур может играть роль фильтра, не пропускающего колебания частоты

5. Для измерения активного сопротивления самоиндукции или емкости пользуются мостом Уитстона (рис. 48). Показать, что для того чтобы в ветви не было тока, необходимо выполнение следующего соотношения между комплексными сопротивлениями ветвей:

Рис. 48.

6. Для измерения емкости или самоиндукции неизвестную емкость или самоиндукцию (с учетом сопротивления берут в качестве одной из ветвей моста Уитстон? (например, ). Ветви делают чисто активными а в ветвь помещают эталон или Показать, что