§ 22. Полная система уравнений Максвелла — Лоренца

Электромагнитное поле как вид материи характеризуется системой уравнений Максвелла-Лоренца, которые мы объединили в две группы:

Группа уравнений (22.01) характеризует связь между полем и заряженными частицами, являющимися источниками поля; слева стоят напряженности поля , справа — величины, характеризующие заряженные частицы. Группа уравнений (22.02) характеризует само электромагнитное поле и указывает на отсутствие источников магнитного поля. Обе группы уравнений в совокупности описывают общие свойства материального электрического поля, выражают законы движения и принцип причинности для поля.

Можно показать, что уравнения Максвелла — Лоренца определяют состояние поля в любой момент времени если задано состояние поля в начальный момент времени и плотности зарядов и токов как функции времени и координат (состояние поля задано, если в данный момент определены значения векторов во всех точках пространства). Таким образом, уравнения Максвелла-Лоренца выражают принцип причинности для электромагнитного поля. Однако приведенная выше задача определения поля предполагает, что и даны заранее как функции координат и времени. В действительности заряженные частицы движутся под действием электромагнитного поля и сторонних сил.

Электромагнитную силу, действующую на частицу, заряд которой распределен с плотностью можно, согласно (15.11), представить в форме

где интегрирование производится по всему объему частицы. Существенно учесть действие на частицу не только внешнего поля, но и поля, создаваемого самой частицей. Поэтому, полагая (значок а относится к внешнему, к внутреннему полю), получим

где

Вычисление силы («силы самодействия») требует более подробных сведений о частице и будет рассмотрено позже. Здесь отметим, что складывается из двух членов: один, равный (где — электромагнитная масса частицы), соответствует некоторой силе инерции; второй — имеет характер силы трения и при равен где

Внешнюю электромагнитную силу для квазиточечной частицы можно написать в форме (15.10)

поскольку в пределах частицы внешнее поле слабо меняется и поэтому его можно вынести из-под знака интеграла.

Теперь уравнение движения -той частицы можно написать в форме

В (22.04) — масса покоя частицы, включающая электромагнитную массу, сила самодействия (без силы электромагнитной инерции, которая включена в левую часть), -сторонняя сила. Значок а вверху, обозначающий внешнее поле, опущен; значок а внизу указывает, что поле берется в точке, занимаемой -той частицей.

Плотность зарядов и токов системы квазиточечных частиц определяется формулами:

Таким образом, полная система уравнений Максвелла — Лоренца, характеризующих движение поля и квазиточечных частиц, включает уравнения (22.01), (22.02), (22.04), (22.05). Для частиц, имеющих конечные размеры, уравнения движения формулируются гораздо сложнее.

Первые интегралы движения полной системы уравнений Максвелла-Лоренца были получены выше. Это интеграл энергии (19.11) и интеграл импульса (19.13). Интеграл момента импульса будет рассмотрен в § 23. Однако обычно мы встречаемся с более частными задачами: а) с задачей определения поля по заданным зарядам и токам и б) с задачей определения движения заряженной частицы в заданном электромагнитном поле. Эти задачи будут рассмотрены в следующих главах.