§ 43. Общее решение волнового уравнения. Группы волн

Общее решение волнового уравнения (41.02) или (41.03) можно представить в форме наложения (суперпозиции) плоских монохроматических линейно-поляризованных волн с различными волновыми векторами частотами и направлениями поляризации

Подобное разложение называется спектральным. Так как меняется, вообще говоря, непрерывно, вместо суммы следует писать трехкратный интеграл Фурье по всем трем составляющим вектора к (по пространству). Если потребовать, чтобы поле было вещественным, надо брать сумму (43.01) и комплексно сопряженной величины. Итак,

Здесь комплексная амплитуда, сопряженная величина, элемент объема в -пространстве. Аналогично пишется спектральное разложение магнитного поля.

Монохроматические плоские волны (42.06) не ограничены в пространстве и времени, поэтому они являются математической абстракцией, реализующейся с некоторым приближением. В природе источники излучают волновое поле всегда за конечное время. Поэтому поле всегда занимает конечную часть пространства. В этом случае говорят

о волновом пакете или группе волн. Группу волн всегда можно представить в форме спектрального разложения (43.02) по плоским волнам. Эти волны, налагаясь друг на друга, создают в данный момент в определенном объеме некоторое суммарное поле, а вне этого объема интерферируют так, что полностью гасят друг друга.

Пусть поле (то есть или В) представляется группой плоских волн, распространяющихся вдоль оси х,

Амплитуда равна

Последнее выражение легко получается из (43.03), если умножить (43.03) на проинтегрировать по всем х от до и учесть, что

Допустим, что волновые числа накладывающихся монохроматических волн лежат в интервале где а амплитуда одна и та же для всех из этого интервала и равна нулю вне его. Так как мало, то частоту которая есть функция можно разложить в ряд по степени

Теперь интеграл (43.03) дает

где Это есть «модулированная» плоская волна со средней «несущей» частотой и соответствующим ей волновым числом Но амплитуда волны

уже не постоянна в пространстве и времени. Она имеет резкий максимум при то есть Это значит, что максимум движется равномерно с так называемой групповой скоростью

Рис. 26.

В случае волн в вакууме то есть групповая скорость совпадает с фазовой. При более сложной зависимости со от к групповая скорость будет отлична от фазовой (см. гл. VIII);

Из рисунка 26 видно, что множитель а существенно отличен от нуля лишь в области первого максимума; он обращается в нуль при и затем колеблется с быстро уменьшающейся амплитудой. Для момента область в которой поле существенно отлично от нуля, определяется из условия Откуда Аналогично при данном х длительность группы волн во времени определяется из условия Так как то Таким образом,

Эти «соотношения неопределенности» показывают, что чем меньше область пространства, в которой локализована группа волн, тем шире интервал волновых чисел этой группы; чем меньше длительность группы волн, тем шире ее интервал частот.