§ 7. Принцип суперпозиции для магнитного поля. Закон Био - Савара

Опыт показывает, что магнитное поле, так же как и электрическое, подчиняется принципу суперпозиции (наложения): поле, создаваемое в данной точке несколькими движущимися зарядами (токами), равно векторной сумме полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности,

где поле, создаваемое движущимся зарядом с индексом а.

Пользуясь принципом суперпозиции, мы можем вычислить магнитное поле произвольного стационарного распределения тока. Действительно, магнитное поле, создаваемое зарядом находящимся в малом объеме можно написать в форме

где радиус-вектор, проведенный от к точке наблюдения Чтобы определить полное поле В, создаваемое произвольным стационарным распределением тока, надо применить принцип наложения полей, то есть сложить поля, создаваемые отдельными элементами тока

Формулы (7.02) и (7.03) выражают закон Био и Савара для магнитного поля стационарных токов.

Задачи

1. Показать, что сила, действующая в магнитном поле на единицу объема движущегося заряда, равна

Решение. Считая, что где элемент объема, разделим (6.03) на Получим плотность силы равную

2. Определить магнитное поле линейного элемента тока на большом расстоянии от него.

Решение. Для линейного элемента тока объем где а — поперечное сечение тока. Поэтому где сила тока через сечение а. Подставляя последнее в (7.02), имеем

Здесь считается одним и тем же для всех точек сечения тока велико по сравнению с поперечными размерами тока). Полученное выражение есть обычное выражение закона Био - Савара для линейного тока. Величина магнитного поля, созданного элементом тока, равна

где угол между

3. Определить силу, действующую на линейный элемент тока в магнитном поле напряженностью В.

Рис. 6.

Решение. Сила, действующая в магнитном поле на элемент объема тока (см. задачу 1), равна

Заменяя для линейного тока через получим

Эта сила перпендикулярна к

4. Определить силы, с которыми действуют друг на друга два линейных элемента тока (рис. 6).

Решение. Если радиус-вектор элемента относительно то согласно результатам задачи 2 магнитное поле, созданное элементом в точках равно

Сила, действующая на равна

Меняя местами и заменяя на получим силу, с которой элемент тока действует на элемент

Отсюда видно, что следовательно, силы взаимодействия двух элементов тока не удовлетворяют третьему закону Ньютона.

Если, например, элемент параллелен перпендикулярен то Но если элементы параллельны или антипараллельны друг другу, то, полагая получим

Следовательно, в этом случае силы равны и противоположны по направлениям, но все же не удовлетворяют третьему закону Ньютона, так как не направлены по одной прямой, соединяющей элементы тока. Если токи параллельны то они взаимно притягиваются, если токи антипараллельны то они отталкиваются. Заметим, что полученные выражения описывают взаимодействие элементов тока в соответствии с представлениями о дальнодействии. Но действие одного тока на другой передается при помощи магнитного поля, то есть на самом деле всегда имеет место близкодействие.